Expressões Algébricas
A Linguagem Universal da Matemática
João Carlos Moreira
Copyright©2013-2025 RCEM. Todos os direitos reservados.
Imagine poder escrever uma receita matemática que funcione para qualquer número! Uma fórmula mágica que resolve não apenas um problema, mas infinitos problemas de uma só vez. Bem-vindo ao fascinante mundo das expressões algébricas — a linguagem que permite à matemática falar sobre o desconhecido, o variável e o universal!
Expressões algébricas são combinações de números, letras e operações matemáticas que representam valores ou relações entre quantidades. Elas são como frases matemáticas que contam histórias sobre números que ainda não conhecemos completamente.
Uma expressão algébrica é uma sentença matemática que pode conter:
A beleza das expressões algébricas está em sua generalidade — elas nos permitem trabalhar com padrões e relações sem precisar saber os valores específicos de cada elemento. É como ter uma chave-mestra matemática!
Usar letras pode parecer estranho no início, mas há uma razão poderosa para isso:
Problema específico: João tem 5 maçãs e ganha mais 3. Quantas tem?
Problema geral: João tem x maçãs e ganha mais y. Quantas tem?
As letras nos libertam dos números específicos, permitindo-nos descobrir verdades matemáticas universais.
A álgebra não nasceu pronta — foi uma conquista gradual da humanidade:
A palavra "álgebra" vem do árabe "al-jabr", que significa "reunião" ou "restauração" — exatamente o que fazemos ao manipular expressões!
Você usa expressões algébricas sem perceber:
As expressões algébricas são ferramentas poderosas que transformam problemas complexos em soluções elegantes. Elas são a ponte entre a aritmética concreta e o pensamento matemático abstrato.
Considere esta situação:
Um quadrado tem lado medindo 5 cm. Sua área é 25 cm².
Mas se o lado medir l cm, a área será l² cm².
Esta simples expressão A = l² contém infinitas possibilidades:
Uma única expressão algébrica captura a essência de todos os quadrados possíveis!
Se os números são os atores da matemática, as variáveis são os papéis que eles podem interpretar. Uma mesma letra pode representar sua idade hoje, o preço de um produto ou a distância até a lua — tudo depende do contexto da história matemática que estamos contando!
Variáveis são símbolos (geralmente letras) que representam quantidades desconhecidas ou que podem mudar. Elas são os curingas da matemática, adaptando-se a diferentes situações.
A escolha das letras muitas vezes segue tradições: x, y, z para incógnitas; a, b, c para coeficientes; n para números naturais; t para tempo.
Cada variável tem seu próprio "comportamento" dependendo do contexto:
Exemplo 1 - Temperatura:
T = 20 + 0,5h
Exemplo 2 - Movimento:
d = vt
No mundo das expressões, algumas variáveis comandam e outras obedecem:
Em y = 2x + 3:
É como uma receita: x é o ingrediente que adicionamos, y é o resultado que obtemos!
Resolver problemas com variáveis é como dar nomes aos mistérios:
Problema: "Um número somado com seu dobro resulta em 21"
Tradução algébrica:
Problemas reais frequentemente envolvem várias incógnitas:
Situação: Entrada de cinema
Cada letra guarda um segredo numérico que o contexto revelará!
As variáveis nos permitem pensar abstratamente:
Números pares: 2n (onde n é natural)
Números ímpares: 2n + 1
Múltiplos de 5: 5k
Três números consecutivos: n, n+1, n+2
As variáveis capturam a essência de infinitos números!
As variáveis são mais que simples letras — são símbolos de possibilidade. Elas transformam problemas específicos em soluções gerais, permitindo que a matemática fale sobre o desconhecido com a mesma precisão com que fala sobre o conhecido.
Assim como as palavras formam frases e as notas formam melodias, os termos algébricos se combinam para criar expressões matemáticas. Cada termo tem sua estrutura, seu papel e sua importância na grande sinfonia algébrica. Vamos desvendar esses componentes fundamentais!
Um termo algébrico é como um átomo matemático — a unidade básica das expressões:
No termo 5x²:
Juntos, formam um termo completo e indivisível!
Os termos são separados por sinais de + ou -, criando a estrutura das expressões algébricas.
Nem todos os termos são criados iguais:
Por número de variáveis:
Por presença de variáveis:
O coeficiente é o fator numérico que acompanha as variáveis:
Quando não aparece número, o coeficiente é 1 ou -1!
Alguns termos são como irmãos — compartilham características importantes:
Termos são semelhantes quando têm exatamente a mesma parte literal:
Apenas termos semelhantes podem ser somados ou subtraídos diretamente!
O grau revela a "potência" de um termo:
Para uma variável:
Para múltiplas variáveis (soma dos expoentes):
Uma expressão bem organizada facilita a compreensão:
Expressão desorganizada: 3 - 2x² + 5x - x³ + 7x²
Passos para organizar:
Resultado: -x³ + 5x² + 5x + 3
Quando substituímos variáveis por números, calculamos o valor numérico:
Para 2x² - 3x + 5, quando x = 4:
Traduzir palavras em termos algébricos é uma habilidade essencial:
Termos e coeficientes são os blocos fundamentais da álgebra. Dominá-los é como aprender o alfabeto de uma nova língua — essencial para expressar ideias matemáticas complexas com clareza e precisão.
Chegou a hora de fazer as expressões algébricas dançarem! Somar, subtrair, multiplicar e dividir expressões é como coreografar um balé matemático onde cada movimento segue regras precisas. Vamos dominar essas operações e descobrir a harmonia escondida na álgebra!
A regra de ouro: só podemos somar ou subtrair termos semelhantes!
É como organizar frutas:
Na álgebra:
Exemplo 1: (3x² + 5x - 2) + (x² - 3x + 7)
Exemplo 2: (2a + 3b - 5) - (a - 2b + 3)
Multiplicar expressões é aplicar a propriedade distributiva com maestria:
Multiplique coeficientes e some expoentes de mesma base:
Regra: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
Distribua o monômio para cada termo:
3x(2x² - 5x + 4):
O famoso "chuveirinho" - cada termo do primeiro multiplica todos do segundo:
(x + 3)(x + 2):
Dividir expressões requer atenção especial:
Divida coeficientes e subtraia expoentes:
Regra: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (m ≥ n)
Elevar expressões a potências tem suas peculiaridades:
Monômio elevado a potência:
Binômio ao quadrado:
Vamos ver como essas operações resolvem problemas reais:
Um terreno retangular tem largura x e comprimento (x + 5) metros.
Área: x(x + 5) = x² + 5x metros²
Se cercarmos com 2 metros a mais em cada lado:
Lembre-se sempre da hierarquia:
Exemplo: 2x² + 3x(x - 1) - 5
Dominar as operações com expressões algébricas é como aprender a tocar um instrumento — requer prática, paciência e atenção aos detalhes. Mas uma vez dominadas, elas se tornam ferramentas poderosas para resolver os mais variados problemas matemáticos!
Simplificar uma expressão algébrica é como arrumar um quarto bagunçado — organizamos, agrupamos objetos similares e eliminamos o desnecessário. O resultado? Uma expressão mais clara, elegante e fácil de trabalhar. Vamos dominar esta arte essencial da álgebra!
A simplificação não é apenas estética — ela revela a essência das expressões:
Simplificar é um processo sistemático:
Expressão inicial: 3x + 5 - 2x² + 7x - 3 + x²
Passo 1: Identifique termos semelhantes
Passo 2: Agrupe os semelhantes
(-2x² + x²) + (3x + 7x) + (5 - 3)
Passo 3: Opere com os coeficientes
-x² + 10x + 2
Parênteses adicionam um desafio extra:
Caso 1: Sinal positivo antes do parêntese
2x + (3x - 5) = 2x + 3x - 5 = 5x - 5
Caso 2: Sinal negativo antes do parêntese
4y - (2y + 3) = 4y - 2y - 3 = 2y - 3
Caso 3: Número multiplicando o parêntese
3(x + 2) - 2(x - 1) = 3x + 6 - 2x + 2 = x + 8
Frações com variáveis seguem as mesmas regras das numéricas:
Cancelamento de fatores comuns:
Sempre fatore antes de simplificar frações!
Evite estas armadilhas:
Erro 1: Simplificar termos não semelhantes
Erro 2: Cancelar incorretamente em frações
Erro 3: Esquecer de distribuir o sinal negativo
Algumas simplificações exigem técnicas especiais:
Agrupamento estratégico:
ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Completar quadrados:
x² + 6x + 5 = (x + 3)² - 9 + 5 = (x + 3)² - 4
Racionalização:
1/(√x + 1) × (√x - 1)/(√x - 1) = (√x - 1)/(x - 1)
A simplificação resolve problemas reais:
Uma fábrica tem custos:
Custo total:
(3x + 500) + (2x + 300) + (x + 200) = 6x + 1000
A forma simplificada mostra claramente: custo variável (6x) e custo fixo (1000)!
Substitua valores para verificar:
Original: 2(x + 3) + 3(x - 1)
Simplificada: 5x + 3
Teste com x = 2:
Expressões simplificadas revelam padrões e relações:
Observe a sequência:
A simplificação revela a estrutura profunda das expressões!
Simplificar é mais que uma técnica — é uma filosofia matemática. Ao reduzir expressões à sua forma mais elegante, não apenas facilitamos cálculos, mas também revelamos a beleza e a estrutura ocultas na álgebra. É a busca pela essência matemática!
Na música, existem acordes que aparecem repetidamente, criando harmonia. Na álgebra, temos os produtos notáveis — padrões de multiplicação tão comuns e importantes que merecem ser memorizados. Eles são atalhos poderosos que transformam cálculos complexos em resultados instantâneos!
Produtos notáveis são multiplicações especiais que seguem padrões previsíveis:
O primeiro e mais famoso produto notável:
Demonstração visual:
Imagine um quadrado de lado (a + b):
Exemplos:
Irmão gêmeo do quadrado da soma:
Note a única diferença: o sinal do termo do meio!
Exemplos práticos:
Um dos mais elegantes produtos notáveis:
A mágica: Os termos do meio se cancelam!
Demonstração:
Aplicações:
Para os mais aventureiros:
Padrão dos coeficientes: 1, 3, 3, 1 (triângulo de Pascal!)
Exemplo detalhado:
(x + 2)³ = x³ + 3x²(2) + 3x(4) + 8
= x³ + 6x² + 12x + 8
Observe o padrão alternado de sinais: +, -, +, -
Exemplo:
(x - 1)³ = x³ - 3x² + 3x - 1
Veja como eles facilitam nossa vida:
Calcule 98²:
Calcule 51 × 49:
Problema: Um quadrado tem lado x. Se aumentarmos 3 cm em cada lado, quanto aumenta a área?
Solução:
Saber identificá-los é tão importante quanto aplicá-los:
Teste: x² + 10x + 25 é um produto notável?
Sim! É (x + 5)²
Binômio de Newton:
(a + b)ⁿ tem coeficientes dados pelo triângulo de Pascal!
Produtos especiais:
Por que dedicar um capítulo inteiro a eles?
Os produtos notáveis são como superpoderes algébricos — uma vez dominados, você verá o mundo matemático com novos olhos. Padrões que antes pareciam complexos se revelarão simples, e cálculos que levariam minutos serão resolvidos em segundos. São ferramentas que todo matemático carrega em seu kit mental!
Se multiplicar é construir, fatorar é desmontar com precisão cirúrgica. É a arte de decompor expressões algébricas em seus blocos fundamentais, revelando sua estrutura íntima. Como detetives matemáticos, vamos descobrir os fatores escondidos em cada expressão!
Fatorar é escrever uma expressão como produto de expressões mais simples:
Fatoração é o processo inverso da multiplicação:
É como desmontar um relógio para ver suas engrenagens!
Sempre comece procurando o que há em comum:
Exemplo 1: 6x + 12
Exemplo 2: 3x² + 6x
Exemplo 3: 5a²b - 10ab² + 15ab
Quando não há fator comum global, agrupe estrategicamente:
Exemplo: ax + ay + bx + by
Passo 1: Agrupe termos com fatores comuns
(ax + ay) + (bx + by)
Passo 2: Fatore cada grupo
a(x + y) + b(x + y)
Passo 3: Fatore o fator comum (x + y)
(x + y)(a + b)
Reconheça e aplique o produto notável invertido:
Exemplos práticos:
Reconheça os padrões dos produtos notáveis:
Forma: a² ± 2ab + b² = (a ± b)²
Como identificar:
Exemplos:
A técnica mais desafiadora e útil:
Para fatorar x² + bx + c, procure dois números que:
Exemplo: x² + 7x + 12
Outro exemplo: x² - 5x + 6
Para os mais avançados:
Soma de cubos: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Diferença de cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Exemplos:
Por que fatorar é tão importante?
1. Resolver equações:
x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 ou x = 3
2. Simplificar frações:
(x² - 4)/(x - 2) = (x + 2)(x - 2)/(x - 2) = x + 2
3. Encontrar zeros de funções:
f(x) = x³ - x = x(x² - 1) = x(x + 1)(x - 1)
Zeros: x = 0, -1, 1
Fatore completamente:
Dica: Sempre comece pelo fator comum!
A fatoração é como ter visão de raio-x matemática — você enxerga através da complexidade superficial e revela a estrutura fundamental. É uma habilidade que transforma problemas impossíveis em quebra-cabeças solucionáveis, abrindo portas para níveis mais avançados da matemática!
Se as expressões algébricas são frases matemáticas, as equações são perguntas que exigem respostas. A diferença? Um símbolo poderoso: o sinal de igual. Esse pequeno símbolo transforma uma expressão em um mistério a ser resolvido, uma busca pelo valor desconhecido que torna a igualdade verdadeira!
Compreender a diferença é fundamental:
Expressão Algébrica:
Equação:
Problemas do mundo real criam equações:
Problema: João tem o triplo da idade de Maria mais 5 anos. Se João tem 23 anos, qual a idade de Maria?
Construindo a equação:
Resolver equações é manter o equilíbrio:
Imagine uma balança em equilíbrio. Para mantê-la equilibrada:
As mais simples, mas fundamentais:
Exemplo 1: 2x + 7 = 15
Exemplo 2: 3(x - 2) = 2x + 1
Habilidades com expressões facilitam a resolução:
Simplificação antes de resolver:
5x + 3 - 2x + 7 = 19
Fatoração para resolver:
x² - 5x + 6 = 0
Requerem cuidado especial:
Exemplo: x/2 + x/3 = 5
Método do MMC:
Quando uma equação não é suficiente:
Sistema:
x + y = 10
x - y = 2
Resolução:
Quando a relação não é de igualdade:
Exemplo: 2x - 3 < 7
Cuidado: Ao multiplicar ou dividir por negativo, inverta o sinal!
-2x > 6 → x < -3
Problema de Investimento:
João investe x reais a 5% ao mês. Após um mês, tem x + 0,05x = 1050 reais.
Problema de Geometria:
Um retângulo tem perímetro 24 cm e comprimento o dobro da largura.
Sempre confirme suas respostas:
Resolvemos: 3x + 2 = 14 e encontramos x = 4
Verificação:
A verificação detecta erros e confirma o entendimento!
Expressões e equações são faces da mesma moeda:
Dominar ambas é ter a chave para o pensamento algébrico!
Expressões e equações formam uma parceria poderosa. As expressões nos dão a linguagem para descrever relações matemáticas, enquanto as equações nos permitem encontrar valores específicos que satisfazem essas relações. Juntas, elas transformam problemas abstratos em soluções concretas!
A maestria em expressões algébricas vem com a prática constante. Como um músico que treina escalas ou um atleta que aperfeiçoa seus movimentos, precisamos exercitar nossas habilidades algébricas. Vamos mergulhar em uma série de desafios cuidadosamente selecionados para consolidar seu aprendizado!
Para cada expressão, identifique: variáveis, coeficientes, termos e grau.
Desafio extra: Classifique cada expressão (monômio, binômio, trinômio, polinômio).
Nível Básico:
Nível Intermediário:
Adição e Subtração:
Multiplicação:
Desafio: Calcule mentalmente 99² usando produtos notáveis!
Fator Comum:
Produtos Notáveis:
Trinômios:
Para x = 2, y = -1 e z = 3, calcule:
1. Área e Perímetro:
Um retângulo tem largura x e comprimento (x + 4). Escreva expressões para:
2. Economia:
Uma loja vende x camisetas por R$ 30,00 cada e y calças por R$ 50,00 cada.
3. Física:
A distância percorrida por um objeto é d = vt + at²/2, onde v é velocidade inicial, a é aceleração e t é tempo.
1. Prove que:
2. Fatore:
3. Resolva o sistema:
x + y = 10
xy = 21
Dica: Use substituição e produtos notáveis!
Crie um jogo de cartas onde:
Exemplos de cartas equivalentes:
Marque as habilidades que você domina:
Meta: Pratique até transformar cada □ em ✓!
Responda:
A prática transforma conhecimento em habilidade. Cada exercício resolvido é um passo em direção à fluência algébrica. Continue praticando, explorando e descobrindo — a álgebra é uma linguagem, e você está aprendendo a falar fluentemente!
Chegamos ao final desta jornada pelo fascinante mundo das expressões algébricas. Como exploradores que retornam de uma grande aventura, trazemos conosco não apenas conhecimento, mas uma nova forma de ver e compreender o mundo. A álgebra, que talvez parecesse misteriosa no início, revelou-se uma linguagem poderosa e universal!
Nossa expedição algébrica nos levou por territórios ricos em descobertas:
Descobrimos que a álgebra não é apenas cálculo — é arte, lógica e criatividade combinadas:
A álgebra nos ensinou mais que manipular símbolos:
As expressões algébricas estão em toda parte:
Este é apenas o começo de uma jornada maior:
A álgebra nos revelou verdades fundamentais:
Como usar este conhecimento daqui em diante:
As expressões algébricas que agora domina são as mesmas ferramentas usadas por cientistas para desvendar os segredos do universo, por engenheiros para construir maravilhas e por artistas para criar beleza matemática.
Cada vez que simplifica uma expressão, você participa de uma tradição milenar. Cada fatoração é uma pequena vitória do pensamento humano sobre a complexidade.
A álgebra é poder.
Agora esse poder é seu.
Use-o para transformar o mundo!
Como disse o matemático Carl Friedrich Gauss: "A matemática é a rainha das ciências, e a teoria dos números é a rainha da matemática." A álgebra é a linguagem que permite a todas as rainhas conversarem!
Você agora fala essa linguagem. Cada expressão que escreve é uma frase neste idioma universal. Cada simplificação é poesia matemática. Cada fatoração revela a estrutura profunda da realidade.
Que as variáveis sejam suas companheiras de descoberta,
as expressões suas ferramentas de criação,
e a álgebra sua ponte para o infinito!
A aventura continua... ∞
Conhecimento + Prática + Curiosidade = Sucesso
Esta é a expressão mais importante que você pode levar desta jornada. O conhecimento você adquiriu, a prática depende de você, e a curiosidade... bem, se chegou até aqui, ela já faz parte de quem você é!
A álgebra não é apenas uma matéria escolar — é uma forma de pensar, uma linguagem para descrever o universo, uma ferramenta para resolver problemas. Você agora possui essa ferramenta. Use-a bem, e ela abrirá portas que você nem sabia que existiam!
Este material educacional foi desenvolvido com base em obras fundamentais sobre expressões algébricas, álgebra elementar e educação matemática. As referências a seguir representam contribuições significativas de matemáticos, educadores e pesquisadores que dedicaram suas carreiras a tornar a álgebra acessível e fascinante para todos.
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática. 4ª ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria euclidiana plana. 11ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática Bianchini. 8ª ed. São Paulo: Moderna, 2015.
BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2012.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2010.
CENTURIÓN, Marília; JAKUBOVIC, José. Matemática na medida certa. São Paulo: Scipione, 2015.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 4ª ed. São Paulo: Ática, 2014.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. 9ª ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 9.
GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JR., José Ruy; CASTRUCCI, Benedito. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2015.
GUELLI, Oscar. Uma aventura do pensamento. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 8ª ed. São Paulo: Atual, 2013.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática nos dias de hoje. São Paulo: Moderna, 2015.
LIMA, Elon Lages. Álgebra linear. 9ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do ensino médio. 11ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v. 1.
LOPES, Antonio José. Matemática: pensando o mundo. São Paulo: Scipione, 2014.
MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna: análise de uma impregnação mútua. 6ª ed. São Paulo: Cortez, 2011.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. 18ª ed. São Paulo: Saraiva, 2015.
PAIVA, Manoel. Matemática. 3ª ed. São Paulo: Moderna, 2015.
PARRA, Cecília; SAIZ, Irma (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 2008.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. 3ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2013.
SANTOS, Carlos Alberto Marcondes dos; GENTIL, Nelson; GRECO, Sérgio Emílio. Matemática. São Paulo: Ática, 2013.
SILVEIRA, Ênio; MARQUES, Cláudio. Matemática: compreensão e prática. 3ª ed. São Paulo: Moderna, 2015.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática: ensino médio. 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2016.
SOUZA, Joamir Roberto de. Novo olhar: matemática. 2ª ed. São Paulo: FTD, 2013.
STEWART, Ian. Em busca do infinito: uma história da matemática dos primeiros números à teoria do caos. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.
STEWART, James. Cálculo. 7ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 1.
STRUIK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 2007.
TAHAN, Malba. Álgebra recreativa. São Paulo: Saraiva, 2008.
TINOCO, Lucia A. A. Álgebra: pensar, calcular, comunicar. 2ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2011.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Didática de matemática: como dois e dois. São Paulo: FTD, 2010.
VAN DE WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
VIANA, Marger da Conceição Ventura. O conceito de função em situações de modelagem matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2013.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Básica, 2018.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática - Terceiro e Quarto Ciclos do Ensino Fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
BRASIL. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais - Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002.
NCTM - National Council of Teachers of Mathematics. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Lisboa: APM, 2007.
SÃO PAULO (Estado). Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias. São Paulo: SEE, 2012.
UNESCO. Os desafios do ensino de matemática na educação básica. São Carlos: EdUFSCar, 2016.