Funções e seus Gráficos
Desvendando as Relações Matemáticas
João Carlos Moreira
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Imagine poder prever o futuro. Saber quanto você pagará de táxi antes mesmo de entrar no carro, calcular a altura de uma bola arremessada em qualquer instante, ou determinar o lucro de uma empresa baseado em suas vendas. As funções matemáticas nos dão esse superpoder! Elas são como máquinas mágicas que transformam números em outros números seguindo regras precisas.
Vivemos cercados por relações entre grandezas. A temperatura depende da hora do dia, o preço da gasolina influencia o custo de uma viagem, o tempo de estudo afeta a nota na prova. As funções são a linguagem matemática que captura essas relações de forma precisa e poderosa.
As funções são fundamentais porque:
Uma função é como uma receita matemática: você fornece um ingrediente (entrada) e ela produz um resultado (saída) seguindo sempre a mesma regra. A beleza está na previsibilidade e na consistência!
Você já usa funções no dia a dia, mesmo sem perceber:
Cada uma dessas situações envolve uma regra que transforma um valor em outro. É exatamente isso que uma função faz!
Uma das maiores maravilhas das funções é sua representação gráfica. Cada função desenha uma curva única no plano cartesiano, revelando visualmente seu comportamento:
O sistema de coordenadas cartesianas, criado por René Descartes, é formado por:
Ao plotar pontos (x, y) onde y = f(x), criamos o gráfico da função — uma representação visual poderosa que revela crescimento, decrescimento, máximos, mínimos e muito mais!
O conceito de função revolucionou a matemática e as ciências:
As funções transformaram problemas geométricos complexos em cálculos algébricos simples, e vice-versa. Elas são a ponte entre o mundo abstrato dos números e o mundo visual dos gráficos.
Neste livro, você descobrirá que funções são muito mais que fórmulas — são ferramentas poderosas para entender e modelar o mundo. Aprenderemos a:
Prepare-se para uma aventura onde cada gráfico conta uma história, cada equação esconde um padrão, e cada função revela uma verdade sobre o universo matemático!
Funções são como máquinas especiais: você coloca algo na entrada, a máquina processa seguindo uma regra específica, e produz uma saída única. Esta ideia simples é um dos conceitos mais poderosos da matemática, capaz de descrever desde o movimento dos planetas até o comportamento de mercados financeiros.
Uma função é uma relação especial entre dois conjuntos onde cada elemento do primeiro conjunto (domínio) está associado a exatamente um elemento do segundo conjunto (contradomínio).
Uma função f de A em B é uma relação que associa cada elemento x ∈ A a um único elemento y ∈ B. Escrevemos:
f: A → B
Onde:
A característica fundamental é a unicidade: cada entrada produz exatamente uma saída. Não pode haver ambiguidade!
Leonhard Euler nos presenteou com a notação f(x) (lê-se "f de x"), que revolucionou como escrevemos e pensamos sobre funções:
Se f(x) = 2x + 3, então:
A notação f(x) nos diz: "aplique a regra f ao valor x".
Toda função tem três conjuntos importantes que precisamos distinguir:
Sempre vale: Imagem ⊆ Contradomínio
Para f(x) = x² com domínio D = {-2, -1, 0, 1, 2}:
Note que f(-2) = f(2) = 4, mostrando que diferentes entradas podem ter a mesma saída!
Funções são versáteis e podem ser representadas de várias maneiras:
1. Algébrica (Fórmula):
f(x) = 3x – 2
2. Tabular:
| x | 0 | 1 | 2 | 3 |
| f(x) | -2 | 1 | 4 | 7 |
3. Gráfica:
Uma reta passando pelos pontos (0, -2) e (1, 1)
4. Verbal:
"A função que triplica o número e subtrai 2"
Como saber se um gráfico representa uma função? Use o teste da linha vertical!
Se qualquer linha vertical intersecta o gráfico em mais de um ponto, então NÃO é uma função.
Às vezes precisamos de regras diferentes para diferentes intervalos:
{ 5, se 0 ≤ x ≤ 2 (bandeirada)
f(x) = { 5 + 3(x-2), se x > 2 (R$ 3 por km após 2 km)
Esta função modela o preço de uma corrida de táxi com bandeirada fixa de R$ 5 para os primeiros 2 km.
Quando duas funções são iguais?
Duas funções f e g são iguais se, e somente se:
Exemplo: f(x) = x² e g(x) = |x|² são iguais, pois x² = |x|² para todo x real.
Os zeros (ou raízes) de uma função são valores especiais:
Um zero de f é um valor x tal que f(x) = 0. Geometricamente, são os pontos onde o gráfico cruza o eixo x.
Para encontrar zeros: Resolva a equação f(x) = 0
Exemplo: Se f(x) = x² – 4, então:
x² – 4 = 0 ⟹ x² = 4 ⟹ x = ±2
Os zeros são x = 2 e x = -2
Dominar a linguagem das funções é como aprender um novo idioma — um idioma que descreve padrões, relações e mudanças no universo ao nosso redor. Com essa base sólida, estamos prontos para explorar os diferentes tipos de funções e suas personalidades únicas!
Assim como existem diferentes tipos de veículos para diferentes propósitos — carros para estradas, barcos para água, aviões para o ar — existem diferentes tipos de funções, cada uma especializada em modelar certas situações. Vamos conhecer as principais famílias de funções e suas características distintivas!
Podemos classificar funções observando como elas se comportam:
Estas classificações revelam como a função relaciona domínio e contradomínio:
Injetora (Um para Um):
Sobrejetora:
Bijetora:
A simetria é uma propriedade fascinante em funções:
Função Par: f(-x) = f(x) para todo x
Função Ímpar: f(-x) = -f(x) para todo x
Algumas funções repetem seus valores em intervalos regulares:
Uma função f é periódica se existe p > 0 tal que:
f(x + p) = f(x) para todo x
O menor valor positivo de p é chamado período fundamental.
Algumas funções têm valores que nunca ultrapassam certos limites:
Uma função f é limitada se existem números M e m tais que:
m ≤ f(x) ≤ M para todo x no domínio
Exemplos:
As funções se organizam em famílias com características comuns:
1. Funções Polinomiais:
2. Funções Racionais:
3. Funções Trigonométricas:
4. Funções Exponenciais e Logarítmicas:
Podemos criar novas funções combinando funções existentes:
Dadas f(x) = 2x + 1 e g(x) = x²:
Algumas funções merecem destaque especial:
Função Modular: f(x) = |x|
Função Maior Inteiro: f(x) = ⌊x⌋
Função Sinal: sgn(x)
Cada tipo de função tem sua personalidade e utilidade. Conhecer essa diversidade é como ter uma caixa de ferramentas completa — você sempre terá a função certa para modelar cada situação!
Se as funções fossem super-heróis, a função afim seria o Homem de Ferro — versátil, confiável e presente em quase todas as situações do cotidiano. Desde calcular o preço de uma corrida de aplicativo até prever o crescimento populacional, a função afim é a ferramenta matemática mais usada para modelar relações lineares.
A função afim é caracterizada por sua taxa de variação constante — ela cresce ou decresce sempre no mesmo ritmo:
Uma função afim tem a forma:
f(x) = ax + b
Onde:
O nome "afim" vem do latim "affinis", que significa "relacionado" — e de fato, esta função relaciona x e y de forma proporcional!
A característica visual marcante da função afim é seu gráfico retilíneo:
Para traçar o gráfico de f(x) = 2x + 1:
Exemplo:
Cada coeficiente tem um papel específico no comportamento da função:
O coeficiente a determina:
O coeficiente b determina:
Alguns valores dos coeficientes criam situações especiais:
1. Função Linear (b = 0):
2. Função Identidade (a = 1, b = 0):
3. Função Constante (a = 0):
O zero (ou raiz) é onde o gráfico cruza o eixo x:
Para f(x) = ax + b, fazemos f(x) = 0:
ax + b = 0
ax = -b
x = -b/a
Exemplo: Se f(x) = 3x - 6
Zero: x = -(-6)/3 = 6/3 = 2
O gráfico cruza o eixo x no ponto (2, 0)
A função afim modela inúmeras situações reais:
Um plano cobra R$ 40 fixos + R$ 0,50 por minuto:
C(x) = 0,50x + 40
Celsius para Fahrenheit:
F = 1,8C + 32
Analisar onde a função é positiva ou negativa:
Para f(x) = ax + b com zero em x₀ = -b/a:
Duas funções afins podem ter relações geométricas interessantes:
Dadas f(x) = a₁x + b₁ e g(x) = a₂x + b₂:
A função afim é a base para compreender relações mais complexas. Sua simplicidade esconde um poder imenso — com apenas dois parâmetros, ela modela uma infinidade de fenômenos lineares no mundo real!
Se a função afim desenha retas, a função quadrática pinta parábolas — curvas elegantes que aparecem no arco de uma bola de futebol, no formato de antenas parabólicas e até no design de pontes suspensas. É a função que transforma a matemática em poesia visual!
A função quadrática é caracterizada pela presença de um termo ao quadrado:
Uma função quadrática tem a forma:
f(x) = ax² + bx + c
Onde:
O gráfico dessa função é sempre uma parábola — uma das curvas mais belas e úteis da matemática!
Toda parábola tem elementos especiais que definem sua forma e posição:
Cada coeficiente influencia a parábola de forma única:
Coeficiente a:
Coeficiente b:
Coeficiente c:
O vértice é o ponto mais importante da parábola:
Para f(x) = ax² + bx + c:
x do vértice: xᵥ = -b/(2a)
y do vértice: yᵥ = f(xᵥ) = -Δ/(4a)
Onde Δ = b² - 4ac (discriminante)
Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3
Os zeros são onde a parábola cruza o eixo x:
Para encontrar os zeros de ax² + bx + c = 0:
x = (-b ± √Δ)/(2a)
Análise do discriminante Δ = b² - 4ac:
A função quadrática pode ser escrita de várias formas úteis:
1. Forma Geral:
f(x) = ax² + bx + c
2. Forma Fatorada:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
Onde x₁ e x₂ são as raízes
3. Forma Canônica:
f(x) = a(x - xᵥ)² + yᵥ
Onde (xᵥ, yᵥ) é o vértice
Analisar onde a função é positiva ou negativa:
Se a > 0 (concavidade para cima):
Se a < 0 (concavidade para baixo):
A função quadrática modela fenômenos naturais e criações humanas:
A altura h de uma bola lançada para cima:
h(t) = -5t² + 20t + 1,5
Uma empresa tem lucro L(x) = -2x² + 100x - 800
Para esboçar uma parábola com precisão:
Resolver desigualdades com funções quadráticas:
A função quadrática é uma artista matemática — suas parábolas capturam a essência de movimentos naturais, otimizações econômicas e designs arquitetônicos. Dominar essa função é ganhar uma lente poderosa para enxergar padrões quadráticos em todo o universo!
Além das funções afim e quadrática, existe um rico universo de outras funções, cada uma com personalidade própria e aplicações específicas. São como instrumentos em uma orquestra — cada um tem seu timbre único e juntos criam harmonias matemáticas complexas e belas!
A função modular é como um espelho matemático que transforma todos os números em positivos:
A função modular f(x) = |x| é definida por:
|x| = { x, se x ≥ 0
-x, se x < 0 }
Propriedades:
O gráfico de f(x) = |x| forma um V perfeito:
A função exponencial modela crescimento e decaimento em ritmo acelerado:
f(x) = aˣ, onde a > 0 e a ≠ 1
Se a > 1: Crescimento exponencial
Se 0 < a < 1: Decaimento exponencial
Juros Compostos: M = C(1 + i)ᵗ
Crescimento Populacional: P = P₀ · 2ᵗ/ᵈ
Decaimento Radioativo: N = N₀ · (1/2)ᵗ/ᵀ
Onde t é tempo, d é período de duplicação, T é meia-vida
A função logarítmica é a inversa da exponencial — desfaz o que a exponencial faz:
f(x) = log_a(x), onde a > 0, a ≠ 1 e x > 0
Propriedades fundamentais:
As funções trigonométricas capturam a essência dos fenômenos periódicos:
Função Seno: f(x) = sen(x)
Função Cosseno: f(x) = cos(x)
Movimento Harmônico: y = A·sen(ωt + φ)
Modela: pêndulos, molas, ondas sonoras, corrente alternada
Funções racionais são quocientes de polinômios:
f(x) = 1/x (hipérbole)
Aplicação: Lei de Boyle (PV = k)
A função raiz quadrada é a inversa da função quadrática para x ≥ 0:
f(x) = √x
Algumas situações exigem regras diferentes para diferentes intervalos:
{ 0,30x, se 0 ≤ x ≤ 100
f(x) = { 30 + 0,40(x-100), se 100 < x ≤ 200
{ 70 + 0,50(x-200), se x > 200
Modela tarifa progressiva com diferentes faixas de consumo
A função piso arredonda para baixo:
f(x) = ⌊x⌋ = maior inteiro ≤ x
Aplicação: Cobrança por hora (estacionamento)
Podemos criar funções complexas combinando as básicas:
Exemplos de combinações úteis:
Cada função tem sua magia particular. Conhecer essa diversidade é como ter superpoderes matemáticos — você sempre terá a ferramenta certa para modelar qualquer fenômeno, do mais simples ao mais complexo!
Se funções fossem blocos de LEGO, transformações e composições seriam as técnicas para criar construções espetaculares. Podemos esticar, comprimir, mover e combinar funções para criar novas funções com propriedades específicas. É como ter um kit completo de ferramentas para moldar gráficos!
Translações deslocam o gráfico sem alterar sua forma:
Translação Vertical:
Translação Horizontal:
Partindo de f(x) = x²:
O vértice de f está em (0,0), de p está em (2,3)
Reflexões criam imagens espelhadas do gráfico original:
Reflexão no eixo x:
Reflexão no eixo y:
Podemos esticar ou comprimir gráficos vertical ou horizontalmente:
Transformação Vertical:
Transformação Horizontal:
Partindo de f(x) = sen(x):
Compor funções é aplicar uma função ao resultado de outra:
Dadas f e g, a composição (f ∘ g)(x) = f(g(x))
Lê-se: "f composta com g"
Processo:
Atenção: f ∘ g ≠ g ∘ f (em geral)
Se f(x) = x² e g(x) = x + 3:
Note que (x + 3)² ≠ x² + 3!
A função inversa desfaz o que a função original faz:
Para existir inversa, f deve ser bijetora:
Propriedades da inversa f⁻¹:
Para f(x) = 2x + 3:
Verificação: f(f⁻¹(x)) = 2((x-3)/2) + 3 = x ✓
Podemos aplicar várias transformações em sequência:
Para g(x) = -2f(x - 3) + 1, partindo de f(x):
Dica: Transformações horizontais primeiro!
Transformações modelam situações reais:
T(t) = 20 + 5sen((π/12)(t - 6))
Transformações podem criar ou revelar simetrias:
Função par a partir de qualquer f:
g(x) = (f(x) + f(-x))/2
Função ímpar a partir de qualquer f:
h(x) = (f(x) - f(-x))/2
Resultado: f(x) = g(x) + h(x)
Transformações e composições são como superpoderes matemáticos — permitem criar infinitas variações a partir de funções básicas. Dominando essas técnicas, você pode esculpir qualquer gráfico necessário e modelar fenômenos complexos com elegância e precisão!
Funções não vivem apenas nos livros de matemática — elas estão por toda parte, silenciosamente organizando nosso mundo. Do GPS no celular ao preço da gasolina, das previsões do tempo aos batimentos cardíacos, as funções são as engrenagens invisíveis que fazem o mundo moderno funcionar!
O mundo financeiro é governado por funções:
Juros Simples: M(t) = C(1 + it)
Juros Compostos: M(t) = C(1 + i)ᵗ
R$ 1.000 investidos a 0,5% ao mês:
Cada viagem envolve múltiplas funções:
Tarifa dinâmica do Uber:
P(d,t,m) = Base + (Preço/km × d) + (Preço/min × t) × m
Consumo de combustível:
C(v) = av² + bv + c (função quadrática da velocidade)
Funções salvam vidas diariamente:
Dosagem de Medicamentos:
C(t) = C₀ · e⁻ᵏᵗ (concentração no sangue)
Frequência Cardíaca Ideal:
FC_max = 220 - idade
Zona aeróbica: 0,6 × FC_max a 0,8 × FC_max
O mundo digital é construído sobre funções:
Streaming de Vídeo:
Redes Sociais:
Performance atlética e funções matemáticas:
Trajetória de uma bola:
h(t) = h₀ + v₀t - (g/2)t²
Calorias queimadas:
Cal = MET × peso × tempo
Previsões do tempo usam funções complexas:
Sensação Térmica:
ST = 13,12 + 0,6215T - 11,37V^0,16 + 0,3965TV^0,16
Índice UV:
A música é matemática que podemos ouvir:
Frequências Musicais:
f(n) = 440 × 2^(n/12) Hz
Volume (Decibéis):
dB = 10 log₁₀(I/I₀)
Até na cozinha encontramos funções:
Conversão de Receitas:
Tempo de Cozimento:
t = k × peso^(2/3) (para carnes)
Algoritmos funcionais governam nossa vida digital:
Taxa de Crescimento de Seguidores:
S(t) = S₀(1 + r)ᵗ + kt
Alcance de Posts:
Consumo consciente através de funções:
Conta de Luz com Bandeiras:
C(x) = Taxa fixa + x × Tarifa × (1 + Bandeira)
Economia com Energia Solar:
E(t) = Investimento - Economia_mensal × t
Desconto Progressivo:
D(n) = { 0%, se n < 3
{ 10%, se 3 ≤ n < 5
{ 20%, se n ≥ 5
Cashback Acumulativo:
C(x) = 0,02x (2% de volta)
Após n compras: Total = Σ C(xᵢ)
As funções são a linguagem secreta que conecta matemática e vida real. Ao reconhecê-las no cotidiano, você desenvolve uma visão matemática do mundo — e descobre que equações não são abstrações distantes, mas ferramentas poderosas para entender e otimizar sua vida!
A tecnologia transformou o estudo de funções em uma aventura visual e interativa. Com ferramentas digitais, podemos explorar, experimentar e descobrir propriedades que levariam horas para calcular manualmente. É como ter um laboratório matemático na palma da mão!
As calculadoras gráficas online revolucionaram o aprendizado:
Desmos:
GeoGebra:
No Desmos, crie y = ax² + bx + c com sliders:
Descubra visualmente como cada parâmetro afeta a parábola!
Seu smartphone pode ser uma poderosa calculadora gráfica:
Graphing Calculator (Android/iOS):
Photomath:
Excel e Google Sheets são laboratórios de funções:
Criando uma tabela de valores:
Análise automática:
Programar funções desenvolve pensamento algorítmico:
# Definindo funções
def f(x):
return x**2 - 4*x + 3
# Encontrando zeros
import numpy as np
zeros = [x for x in range(-10, 11) if abs(f(x)) < 0.001]
print(f"Zeros aproximados: {zeros}")
# Plotando
import matplotlib.pyplot as plt
x = np.linspace(-2, 6, 100)
y = f(x)
plt.plot(x, y)
plt.grid(True)
plt.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
plt.show()
Novas tecnologias trazem funções para o mundo real:
Apps de Realidade Aumentada:
Experimento: Use AR para ver a interseção de planos e paraboloides!
IA está revolucionando o ensino de funções:
Wolfram Alpha:
ChatGPT e similares:
Veja funções em ação através de simulações:
Simulador de Funções:
Projeto Parábola:
Análise de dados massivos revela funções escondidas:
Google Sheets + Dados Reais:
Machine Learning:
Aprender funções jogando:
Function Carnival (Desmos):
DragonBox Algebra:
Usando Google Sheets:
Recursos avançados:
Vídeos e Tutoriais:
Exercícios Interativos:
A tecnologia não substitui o entendimento matemático — ela o amplifica e acelera. Com essas ferramentas, você pode explorar milhares de funções, testar hipóteses instantaneamente e visualizar conceitos abstratos. O futuro do aprendizado matemático é interativo, visual e empolgante!
A maestria em funções vem com a prática. Como um músico que treina escalas ou um atleta que aperfeiçoa seus movimentos, precisamos exercitar nossas habilidades com funções através de problemas cuidadosamente selecionados. Vamos transformar teoria em habilidade!
Quais das relações abaixo são funções?
Desafio: Para as que não são funções, explique por quê!
Dada f(x) = 3x² - 2x + 1, calcule:
Extra: Use o item 6 para encontrar a taxa de variação!
Determine o domínio de cada função:
Dica: Raízes pares exigem não-negativos, denominadores não podem ser zero!
1. Plano de Internet:
Uma operadora cobra R$ 60 fixos mais R$ 2 por GB extra usado.
2. Temperatura:
Em uma cidade, a temperatura às 6h era 15°C e subia 2°C por hora.
Para f(x) = -x² + 6x - 5:
Uma bola é lançada verticalmente. Sua altura h (metros) após t segundos é:
h(t) = 20t - 5t²
Determine:
Partindo de f(x) = x², descreva como obter:
Desafio: Escreva s(x) na forma expandida ax² + bx + c
Dadas f(x) = 2x + 1 e g(x) = x² - 3:
Um gráfico mostra a velocidade v(t) de um carro ao longo do tempo:
Perguntas:
1. Otimização:
Um fazendeiro tem 100m de cerca para fazer um curral retangular.
2. Função Composta Especial:
Encontre f(x) tal que f(f(x)) = 4x - 3
Dica: Tente f(x) = ax + b e resolva o sistema!
Movimento Uniformemente Variado:
s(t) = s₀ + v₀t + (a/2)t²
Um carro parte do repouso (v₀ = 0) da posição s₀ = 10m com aceleração a = 2 m/s².
Sequências como Funções:
Considere a sequência: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Investigação: Repita para 1, 3, 6, 10, 15, ... (números triangulares)
Marque as habilidades que você domina:
Meta: Pratique até transformar cada □ em ✓!
Uma empresa de aplicativo de transporte está analisando seus dados:
Tarefas:
A prática é a ponte entre compreender e dominar. Cada problema resolvido fortalece sua intuição matemática e constrói confiança. Continue praticando, questionando e explorando — as funções têm infinitos segredos esperando para serem descobertos!
Chegamos ao final desta aventura pelo universo das funções e seus gráficos. Como exploradores matemáticos, descobrimos que funções não são apenas fórmulas abstratas, mas sim a linguagem que o universo usa para expressar relações, padrões e mudanças. De simples retas a complexas curvas, cada função conta uma história única sobre o mundo ao nosso redor.
Nossa jornada nos levou por territórios fascinantes do conhecimento matemático:
As funções revelaram conexões profundas entre diferentes áreas do conhecimento:
O estudo de funções desenvolveu habilidades que transcendem a matemática:
Descobrimos que funções são muito mais que conceitos matemáticos:
Este é apenas o começo. O mundo das funções se expande em direções fascinantes:
As funções agora fazem parte do seu toolkit mental:
As funções nos ensinaram lições profundas sobre o universo matemático:
As funções que agora domina são as mesmas usadas por cientistas para enviar foguetes ao espaço, por médicos para salvar vidas, por artistas para criar beleza e por engenheiros para construir o futuro.
Cada gráfico que você desenha é uma janela para compreender o universo. Cada equação que resolve é um enigma decifrado. Cada aplicação que descobre é uma ponte entre a matemática e a vida.
O mundo fala através de funções.
Agora você entende essa linguagem.
Use-a para explorar, criar e transformar!
Este livro termina, mas sua jornada com funções está apenas começando. Cada dia oferece novas oportunidades para aplicar o que aprendeu, descobrir novos padrões e maravilhar-se com a elegância matemática do universo.
Lembre-se: por trás de cada fenômeno natural, cada tecnologia moderna, cada decisão otimizada, existe uma função trabalhando silenciosamente. Você agora tem olhos para vê-las, mente para compreendê-las e habilidade para usá-las.
Que as funções sejam suas companheiras na jornada do conhecimento,
seus gráficos iluminem caminhos de descoberta,
e a matemática continue a revelar suas maravilhas infinitas!
A aventura continua... f(∞) = ?
Este material educacional foi desenvolvido com base em obras fundamentais sobre funções, gráficos e educação matemática. As referências a seguir representam contribuições significativas de matemáticos, educadores e pesquisadores que dedicaram suas carreiras a tornar estes conceitos acessíveis e fascinantes.
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DEMANA, Franklin D. et al. Pré-cálculo. 2ª ed. São Paulo: Pearson, 2013.
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GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. v. 1.
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LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. v. 1.
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MEDEIROS, Valéria Zuma et al. Pré-cálculo. 3ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
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