Semelhança e Proporcionalidade
Descobrindo as Relações do Mundo
João Carlos Moreira
Copyright©2013-2025 RCEM. Todos os direitos reservados.
Você já parou para pensar por que uma foto no celular cabe perfeitamente na tela, mas quando você tenta imprimi-la às vezes fica distorcida? Ou por que receitas de bolo podem ser dobradas mantendo o mesmo sabor? Por que mapas conseguem representar continentes inteiros em uma folha de papel? A resposta está em um dos conceitos mais poderosos e presentes da matemática: a proporcionalidade. Prepare-se para uma aventura onde descobriremos que o mundo funciona através de relações proporcionais!
Proporcionalidade é a arte de manter relações constantes entre grandezas. É como uma dança onde, quando um parceiro se move, o outro se move em harmonia, mantendo sempre o mesmo ritmo e distância.
Proporcionalidade ocorre quando duas ou mais grandezas variam de forma que a razão entre elas permanece constante. É a matemática do equilíbrio, da harmonia e da previsibilidade. Quando algo é proporcional, podemos prever como uma mudança afetará o todo.
A proporcionalidade está em toda parte: na velocidade constante de um carro, no crescimento uniforme de uma planta, na mistura perfeita de ingredientes, na ampliação de uma imagem. É a linguagem secreta que conecta o pequeno ao grande, o próximo ao distante.
A descoberta das proporções é tão antiga quanto a própria civilização:
Cada civilização contribuiu para nossa compreensão de como as coisas se relacionam proporcionalmente, criando uma tapeçaria de conhecimento que usamos até hoje.
Você usa proporções o tempo todo, mesmo sem perceber:
Essas relações proporcionais tornam nossa vida previsível e nos permitem planejar, economizar e criar.
As proporções não são apenas úteis — elas são belas:
A natureza e a arte usam proporções para criar harmonia visual e auditiva que nossos cérebros reconhecem instintivamente como agradável.
Compreender proporções é desenvolver uma superpotência matemática:
Dominar proporções é como ter uma lente especial que revela as conexões ocultas entre as coisas, permitindo navegar pelo mundo com mais confiança e compreensão.
Nossa jornada explorará:
Nos próximos capítulos, você aprenderá a:
Prepare-se para ver o mundo através das lentes da proporcionalidade — onde cada relação conta uma história e cada proporção revela um segredo!
Imagine que você tem uma receita secreta de limonada que usa 3 copos de água para cada copo de suco de limão. Essa relação 3:1 é uma razão — e se você quiser fazer mais limonada mantendo o mesmo sabor, precisará manter essa razão constante. Bem-vindo ao mundo das razões e proporções, onde números dançam em perfeita harmonia!
Razão é simplesmente uma comparação entre duas quantidades. É como responder à pergunta: "Para cada tanto de uma coisa, quanto temos de outra?"
A razão entre dois números a e b (com b ≠ 0) pode ser escrita de várias formas:
Todas representam a mesma ideia: quantas vezes a primeira quantidade contém a segunda.
Razões são como receitas matemáticas — elas nos dizem as quantidades relativas dos ingredientes!
Você encontra razões em situações surpreendentes:
Assim como frações, razões podem ser simplificadas:
Para simplificar uma razão, divida ambos os termos pelo maior divisor comum:
A razão simplificada mantém a mesma relação, mas com números menores e mais fáceis de entender!
Quando duas razões são iguais, temos uma proporção:
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões:
a/b = c/d
Lê-se: "a está para b assim como c está para d"
Exemplo: 2/3 = 4/6 (dois terços é igual a quatro sextos)
Proporções são como pontes matemáticas que conectam diferentes situações que compartilham a mesma relação!
Toda proporção esconde um segredo poderoso:
Em toda proporção a/b = c/d, vale que:
a × d = b × c
Exemplo: Se 3/4 = 6/8, então 3 × 8 = 4 × 6 = 24 ✓
Esta propriedade é a chave para resolver problemas de proporcionalidade!
A propriedade fundamental nos permite descobrir valores desconhecidos:
Se 2/3 = x/12, quanto vale x?
Usando o produto cruzado:
Verificando: 2/3 = 8/12 ✓
Às vezes, as proporções formam sequências:
Quando a/b = b/c, dizemos que b é a média proporcional entre a e c.
Exemplo: 2/4 = 4/8
Aqui, 4 é a média proporcional entre 2 e 8
Note que: 4² = 2 × 8 = 16 ✓
Algumas razões são tão importantes que têm nomes especiais:
A natureza adora proporções:
Vamos ver como usar razões e proporções:
Problema 1: Se 3 litros de tinta cobrem 15 m², quantos litros preciso para 40 m²?
Solução: 3/15 = x/40 → x = 8 litros
Problema 2: Uma foto 10×15 cm será ampliada. Se a largura passar para 20 cm, qual será a altura?
Solução: 10/15 = 20/x → x = 30 cm
Razões e proporções são as ferramentas fundamentais para entender como o mundo se relaciona. Dominá-las é ter a chave para resolver problemas que parecem complexos, mas que no fundo são apenas dança de números em perfeita harmonia!
Quando você vai ao cinema com os amigos, quanto mais ingressos comprar, mais vai pagar. Mas se dividir uma pizza entre mais pessoas, cada um come menos. Essas situações ilustram os dois tipos de proporcionalidade que governam as relações entre grandezas. Vamos descobrir quando as coisas crescem juntas e quando uma cresce enquanto a outra diminui!
Grandezas são tudo aquilo que pode ser medido ou contado:
Grandezas podem se relacionar de formas fascinantes e previsíveis!
Quando duas grandezas crescem ou diminuem juntas, mantendo a mesma razão:
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando:
A razão entre elas é sempre constante: y/x = k
A vida está cheia de grandezas diretamente proporcionais:
Grandezas diretamente proporcionais formam um padrão visual único:
Quando plotamos grandezas diretamente proporcionais em um gráfico:
Quanto mais inclinada a reta, maior a constante!
Às vezes, quando uma grandeza cresce, a outra diminui proporcionalmente:
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando:
O produto entre elas é sempre constante: x × y = k
Situações onde "mais de um significa menos do outro":
O visual das grandezas inversamente proporcionais é único:
Quando plotamos grandezas inversamente proporcionais:
Como saber se grandezas são direta ou inversamente proporcionais?
Para proporcionalidade direta:
Para proporcionalidade inversa:
A ferramenta mais poderosa para resolver problemas de proporcionalidade:
Direta: Se 4 cadernos custam R$ 32, quanto custam 7 cadernos?
Inversa: Se 6 operários fazem um muro em 8 dias, em quantos dias 12 operários fazem o mesmo muro?
Quando mais de duas grandezas se relacionam:
Exemplo: A produção de uma fábrica depende do número de máquinas e horas trabalhadas.
Problema 1: Uma torneira enche um tanque de 1000 litros em 50 minutos. Em quanto tempo duas torneiras idênticas enchem um tanque de 1500 litros?
Análise: Mais torneiras = menos tempo (inversa); Mais litros = mais tempo (direta)
Solução: 37,5 minutos
Problema 2: Se 250 gramas de queijo custam R$ 12,50, quanto vou pagar por 400 gramas?
Solução: Proporcionalidade direta → R$ 20,00
Entender grandezas proporcionais é como ter um superpoder matemático — você pode prever o futuro! Sabendo como as coisas se relacionam, você pode calcular valores desconhecidos e tomar decisões mais inteligentes em todas as áreas da vida.
Você já notou como uma foto sua no celular e a mesma foto impressa em tamanho pôster têm exatamente a mesma aparência, apenas em tamanhos diferentes? Ou como um modelo em miniatura de um prédio mantém todas as proporções do edifício real? Isso é semelhança — uma das ideias mais poderosas e práticas da geometria. Vamos descobrir o que faz duas figuras serem semelhantes e como usar isso para resolver problemas incríveis!
Semelhança é quando duas figuras têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho:
Duas figuras são semelhantes quando:
É como se uma figura fosse uma versão ampliada ou reduzida da outra!
Semelhança preserva a forma enquanto permite mudança de tamanho — é a geometria da ampliação e redução perfeitas!
A chave da semelhança está na razão entre os tamanhos:
A razão de semelhança (k) é o número que relaciona as medidas correspondentes:
Todos os comprimentos são multiplicados por k!
Você vive cercado por semelhanças:
Vamos aprender a reconhecer semelhança:
Para verificar se duas figuras são semelhantes:
Semelhança tem propriedades fascinantes:
Permanece igual:
Muda proporcionalmente:
Uma descoberta surpreendente sobre áreas:
Se a razão de semelhança é k, então:
Exemplo: Se ampliarmos uma figura por 3:
A natureza adora uma semelhança especial:
A proporção áurea (φ ≈ 1,618) aparece em semelhanças naturais:
É a razão de semelhança mais harmoniosa da natureza!
Como criar figuras semelhantes:
Homotetia é a transformação que cria figuras semelhantes:
Semelhança resolve problemas impossíveis:
Tales e a Pirâmide:
Tales mediu a altura da pirâmide usando semelhança:
Problema Moderno:
Uma árvore projeta sombra de 15m. No mesmo momento, um poste de 4m projeta sombra de 3m. Qual a altura da árvore?
Solução: 4/3 = h/15 → h = 20m
Artistas usam semelhança há séculos:
Quando a semelhança se repete infinitamente:
Semelhança é a ponte entre o grande e o pequeno, permitindo que compreendamos o imenso através do diminuto e criemos o gigantesco a partir do minúsculo. É a matemática que nos permite sonhar em escala!
De todas as figuras geométricas, o triângulo é especial quando falamos de semelhança. Bastam algumas poucas informações para garantir que dois triângulos sejam semelhantes — é como se eles tivessem um código secreto de reconhecimento. Essa propriedade única torna os triângulos semelhantes uma das ferramentas mais poderosas para resolver problemas do mundo real, desde medir alturas inacessíveis até navegar pelos oceanos!
Existem critérios especiais que garantem a semelhança entre triângulos:
Dois triângulos são semelhantes se:
Note que basta AA — o terceiro ângulo é automaticamente igual!
Esses critérios são atalhos poderosos — não precisamos verificar tudo!
O mais usado e mais simples dos critérios:
Se dois triângulos têm dois ângulos iguais:
É o critério mais rápido e prático!
Algumas configurações criam automaticamente triângulos semelhantes:
Uma propriedade crucial dos triângulos semelhantes:
Em triângulos semelhantes ABC e DEF:
É uma proporcionalidade completa!
Uma aplicação fundamental de semelhança:
Quando uma reta paralela a um lado do triângulo corta os outros dois lados:
Base para muitas demonstrações geométricas!
Problemas históricos resolvidos com triângulos semelhantes:
Problema 1: Altura de uma torre
Uma torre projeta sombra de 40m. Uma estaca de 2m projeta sombra de 2,5m no mesmo instante. Qual a altura da torre?
Solução: Triângulos semelhantes → h/40 = 2/2,5 → h = 32m
Problema 2: Largura de um rio
Usando marcos e alinhamentos visuais, criar triângulos semelhantes para medir distâncias inacessíveis.
Um caso especial rico em propriedades:
Quando traçamos a altura relativa à hipotenusa:
O Teorema de Pitágoras emerge naturalmente!
A ponte entre semelhança e funções trigonométricas:
Em triângulos semelhantes com mesmo ângulo θ:
As razões trigonométricas nascem da semelhança!
Como criar triângulos semelhantes:
Método 1: Paralelas
Método 2: Ângulos iguais
Usando semelhança para dividir segmentos:
A bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos proporcionais aos lados adjacentes:
Se AD é bissetriz: BD/DC = AB/AC
Mais uma aplicação elegante de semelhança!
GPS e Triangulação: Usa triângulos semelhantes para localização
Fotografia: Distância focal e semelhança determinam o campo de visão
Arquitetura: Cálculo de sombras e iluminação
Games 3D: Renderização usa triângulos semelhantes constantemente
Triângulos semelhantes são a espinha dorsal da geometria prática. Sua simplicidade esconde um poder imenso — com apenas alguns ângulos ou lados, podemos deduzir tudo sobre triângulos de qualquer tamanho. São a ferramenta perfeita para medir o imensurável e alcançar o inalcançável!
Se triângulos semelhantes são poderosos, imagine quando expandimos o conceito para polígonos de qualquer número de lados! De quadrados que mantêm sua forma perfeita em qualquer tamanho até estrelas complexas que preservam seus ângulos pontiagudos, os polígonos semelhantes revelam padrões fascinantes na arquitetura, na arte e na natureza. Vamos explorar como a semelhança funciona quando saímos do mundo dos três lados!
Para polígonos com mais de três lados, as regras são mais exigentes:
Dois polígonos são semelhantes quando:
Atenção: Ao contrário dos triângulos, apenas ângulos iguais NÃO garantem semelhança!
É uma dança mais complexa — forma E tamanho devem estar em harmonia!
Quadriláteros mostram por que precisamos das duas condições:
Todos os retângulos têm ângulos de 90°, mas:
Quadriláteros precisam de mais cuidado que triângulos!
Uma categoria especial com propriedade única:
Todos os polígonos regulares de mesmo número de lados são semelhantes!
Razão: Ângulos sempre iguais + lados sempre proporcionais!
Como a razão k afeta diferentes medidas:
Se a razão de semelhança é k:
Métodos para criar polígonos semelhantes:
Método 1: Homotetia
Método 2: Grid proporcional
Alguns polígonos têm propriedades únicas:
Retângulos semelhantes:
Losangos semelhantes:
A semelhança em formas mais complexas:
Pentagramas (estrelas de 5 pontas) contêm múltiplas semelhanças:
Semelhança dentro de semelhança!
Polígonos semelhantes estruturam nosso ambiente:
A natureza adora repetir formas em diferentes escalas:
Uma relação fundamental para polígonos:
Para quaisquer polígonos semelhantes:
Área₂/Área₁ = k²
Exemplo: Um hexágono com lados 3 vezes maiores tem área 9 vezes maior!
Isso vale para QUALQUER polígono!
Problema 1: Um octógono regular tem lado 4 cm e área 77,25 cm². Qual a área de um octógono regular de lado 6 cm?
Solução: k = 6/4 = 1,5 → Área = 77,25 × (1,5)² = 173,8 cm²
Problema 2: Dois pentágonos são semelhantes. O menor tem perímetro 20 cm e área 30 cm². Se o maior tem área 270 cm², qual seu perímetro?
Solução: k² = 270/30 = 9 → k = 3 → Perímetro = 20 × 3 = 60 cm
Quando polígonos semelhantes preenchem o plano:
M.C. Escher explorou essas ideias em sua arte!
Polígonos semelhantes expandem nosso vocabulário geométrico, permitindo criar e analisar formas complexas mantendo proporções harmoniosas. São a base de padrões que vão desde os mosaicos islâmicos até os designs mais modernos, provando que a matemática da semelhança é também a matemática da beleza!
Como cabe o mundo inteiro em um atlas? Como arquitetos projetam arranha-céus em folhas de papel? Como podemos ver detalhes de uma célula que é invisível a olho nu? A resposta está no conceito de escala — a arte matemática de representar o grande no pequeno e revelar o pequeno em grande. Escalas são a ponte entre diferentes mundos de tamanho, e dominá-las é ter o poder de viajar entre o microscópico e o gigantesco!
Escala é a razão entre o tamanho da representação e o tamanho real:
Escala = Tamanho no desenho : Tamanho real
O primeiro número refere-se ao desenho, o segundo à realidade!
Escalas são contratos matemáticos que garantem proporcionalidade perfeita!
Diferentes situações pedem diferentes escalas:
Escala de Redução (mais comum):
Escala de Ampliação:
Você usa escalas mais do que imagina:
A matemática das escalas é simples mas poderosa:
Exemplo: Na escala 1:200, uma parede de 5 cm no desenho tem 5 × 200 = 1000 cm = 10 m na realidade!
Uma forma visual de mostrar escala:
Escala gráfica é um segmento graduado que mostra distâncias:
[0 — 10 — 20 — 30 — 40 — 50 km]
Como converter entre diferentes escalas:
Problema: Um desenho está em 1:50. Queremos reproduzi-lo em 1:100.
Solução:
Cuidado: área e volume não seguem a escala linear!
Na escala 1:k:
Exemplo: Escala 1:10 → Áreas 100× menores, Volumes 1000× menores!
Como decidir qual escala usar:
Problema 1: Em um mapa 1:25.000, duas cidades distam 8 cm. Qual a distância real?
Solução: 8 × 25.000 = 200.000 cm = 2 km
Problema 2: Um vírus de 100 nanômetros é desenhado com 5 cm. Qual a escala?
Solução: 5 cm : 100 nm = 50.000.000 : 100 = 500.000:1
Como a tecnologia revolucionou o trabalho com escalas:
Explorando o muito grande e o muito pequeno:
Crie um modelo do sistema solar em escala 1:10 bilhões:
A escala revela o vazio imenso do espaço!
Escalas são janelas mágicas que nos permitem explorar todos os tamanhos do universo. Elas transformam o inacessível em compreensível, o invisível em visível, e o imenso em manejável. Dominar escalas é ter o poder de viajar através das dimensões, sempre mantendo as proporções que fazem o mundo fazer sentido!
A tecnologia transformou o estudo de semelhança e proporcionalidade em uma experiência dinâmica e interativa. Com softwares de geometria dinâmica, aplicativos de realidade aumentada e ferramentas de modelagem 3D, podemos explorar proporções de formas que seriam impossíveis com papel e lápis. Vamos descobrir como usar essas ferramentas para ampliar nossa compreensão e criar experiências matemáticas incríveis!
Softwares que tornam a proporcionalidade visível e manipulável:
Arraste, redimensione e veja as proporções se manterem em tempo real!
Atividades práticas para descobrir propriedades:
1. Triângulos Semelhantes Dinâmicos:
2. Teorema de Tales Interativo:
Aplicativos que cabem no seu bolso:
Para aprender proporções:
Para explorar semelhança:
Veja matemática no mundo real:
A matemática salta da tela para o mundo!
Crie suas próprias visualizações:
Python com Turtle - Triângulos Semelhantes:
import turtle
def triangulo_semelhante(tamanho, cor):
turtle.fillcolor(cor)
turtle.begin_fill()
for i in range(3):
turtle.forward(tamanho)
turtle.left(120)
turtle.end_fill()
# Desenha série de triângulos semelhantes
for i in range(5):
tamanho = 30 + i * 20
triangulo_semelhante(tamanho, f'blue')
turtle.penup()
turtle.forward(10)
turtle.pendown()
Apps que ensinam composição proporcional:
Aprenda a ver proporções através da lente!
Criando objetos proporcionais em 3D:
Ferramentas web para cálculos rápidos:
Use Google Sheets ou Excel para criar um dashboard interativo:
Compartilhe e colabore em tempo real!
Criando conteúdo visual sobre proporções:
Mergulhe em mundos proporcionais:
IA que entende e cria proporções:
Visitantes exploram proporções de forma imersiva!
A tecnologia não apenas facilita o estudo de proporções e semelhança — ela o transforma em uma aventura interativa e criativa. Com estas ferramentas, você pode ver, tocar, criar e compartilhar o mundo proporcional de formas que nossos antepassados matemáticos apenas sonhavam. O futuro da matemática é visual, interativo e está ao alcance de seus dedos!
Chegou a hora de colocar em prática tudo que aprendemos sobre semelhança e proporcionalidade! Como um atleta que treina diferentes habilidades, vamos exercitar nossa mente matemática com problemas que vão do básico ao desafiador. Prepare seu raciocínio proporcional — cada problema resolvido fortalece sua compreensão e revela novas conexões!
1. Razões Cotidianas:
2. Proporções Básicas:
Encontre o valor de x:
1. Identifique o tipo de proporcionalidade:
2. Problema misto:
12 operários constroem um muro de 30m em 6 dias. Quantos operários são necessários para construir 50m em 5 dias?
1. Triângulos semelhantes:
Triângulo ABC tem lados 6, 8 e 10 cm. Triângulo DEF tem lados 9, 12 e 15 cm.
2. Retângulos proporcionais:
Um retângulo 3×4 é semelhante a qual destes: 6×8, 9×16, 12×16, 15×20?
1. Mapas e distâncias:
2. Maquetes:
Uma maquete na escala 1:200 tem um prédio de 15 cm de altura.
Problema clássico:
Para medir a largura de um rio, João finca estacas formando triângulos semelhantes:
Qual a largura do rio?
1. Ampliação de foto:
Uma foto 10×15 cm será ampliada para 30×45 cm.
2. Planeta em escala:
Em um modelo do sistema solar, a Terra tem 1 cm de diâmetro.
Investigação:
A proporção áurea φ ≈ 1,618 aparece quando (a+b)/a = a/b
1. Economia doméstica:
Ana gasta R$ 450 em compras para 15 dias. Planejando uma viagem de 22 dias, quanto deve reservar para compras, mantendo o mesmo padrão?
2. Culinária proporcional:
Uma receita para 6 pessoas usa: 500g farinha, 300g açúcar, 4 ovos. Ajuste para 10 pessoas.
3. Combustível:
Um carro faz 12 km/litro na cidade e 16 km/litro na estrada. Em uma viagem com 180 km de cidade e 320 km de estrada, quantos litros serão gastos?
1. Sombras proporcionais:
Ao meio-dia, um prédio projeta sombra de 15m. Uma pessoa de 1,80m projeta sombra de 1,35m. Às 15h, a sombra do prédio tem 25m. Qual a sombra da pessoa?
2. Fractal simples:
No triângulo de Sierpinski, remove-se o triângulo central a cada iteração. Se o triângulo inicial tem área 64 cm²:
Crie uma maquete de um quarteirão na escala 1:500:
Marque as competências que você domina:
Continue praticando até dominar todas!
A prática é o caminho para a maestria em proporções e semelhança. Cada problema resolvido é um tijolo na construção de sua compreensão matemática. Continue explorando, questionando e descobrindo — o mundo proporcional está cheio de surpresas esperando para serem reveladas!
Chegamos ao final de nossa exploração pelo fascinante mundo da semelhança e proporcionalidade, mas como em toda boa jornada matemática, este fim é apenas um novo começo. Descobrimos que proporções não são apenas números que dançam em harmonia — são a linguagem secreta que conecta o pequeno ao grande, o próximo ao distante, o possível ao impossível. Vamos celebrar nossas descobertas e vislumbrar os horizontes que se abrem!
Nossa aventura nos levou por caminhos surpreendentes:
Cada conceito aprendido é uma ferramenta poderosa para decifrar o mundo!
Descobrimos que proporções são mais que matemática — são arte e natureza:
Mais que aprender fórmulas, desenvolvemos maneiras de pensar:
O futuro é proporcional e cheio de possibilidades:
A proporcionalidade nos ensina lições que vão além da matemática:
Como levar a proporcionalidade para sua vida:
A proporcionalidade é porta de entrada para conceitos mais avançados:
Agora você enxerga o mundo com olhos proporcionais. Onde outros veem apenas tamanhos diferentes, você vê relações matemáticas elegantes. Onde parecem existir distâncias intransponíveis, você constrói pontes de proporcionalidade.
As ferramentas que você dominou — razões, proporções, semelhança, escalas — são as mesmas usadas por arquitetos para erguer maravilhas, por artistas para criar beleza, por cientistas para desvendar o universo.
O mundo é proporcional.
Você aprendeu sua linguagem.
Use-a para criar, descobrir e transformar!
Como disse Galileu: "A matemática é a linguagem com a qual Deus escreveu o universo." E grande parte dessa linguagem é escrita em proporções — das menores partículas às maiores galáxias, das células aos ecossistemas, dos átomos às estrelas.
Você agora faz parte de uma linhagem milenar de pensadores que compreenderam o poder das proporções. De Tales medindo pirâmides a programadores criando mundos virtuais, a jornada continua com você.
Que as proporções sejam suas aliadas na compreensão do mundo, que a semelhança revele conexões inesperadas, e que as escalas permitam que você navegue entre todos os tamanhos do universo com confiança e admiração.
A matemática das proporções está em toda parte,
conectando o visível ao invisível,
o finito ao infinito,
o real ao possível.
Sua jornada proporcional apenas começou... ∞
Este material educacional foi desenvolvido com base em obras fundamentais sobre proporcionalidade, semelhança, geometria e suas aplicações no ensino de matemática. As referências a seguir representam contribuições significativas de educadores, matemáticos e pesquisadores que dedicaram suas carreiras a tornar estes conceitos acessíveis e relevantes para estudantes de todas as idades.
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando matemática. 4ª ed. São Paulo: Editora do Brasil, 2015.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática: semelhança e proporcionalidade. 9ª ed. São Paulo: Moderna, 2018.
BOYER, Carl B.; MERZBACH, Uta C. História da matemática. 3ª ed. São Paulo: Blucher, 2012.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Básica, 2018.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2002.
CENTURIÓN, Marília; JAKUBOVIC, José. Matemática na medida certa. São Paulo: Leya, 2015.
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 4ª ed. São Paulo: Ática, 2013.
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. 9ª ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 9.
EUCLIDES. Os elementos. Tradução de Irineu Bicudo. São Paulo: Editora UNESP, 2009.
EVES, Howard. Introdução à história da matemática. 5ª ed. Campinas: Editora da Unicamp, 2011.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. O ensino de geometria na escola fundamental. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR., José Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2018.
HUMPHREYS, Paul; EVANS, Dafydd. Proporção e semelhança. São Paulo: Scipione, 1997.
HUNTLEY, H. E. A divina proporção. Brasília: Editora UnB, 1985.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade. 9ª ed. São Paulo: Atual, 2018.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática: proporcionalidade. São Paulo: Moderna, 2012.
LIMA, Elon Lages. Medida e forma em geometria. 4ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2011.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A matemática do ensino médio. 10ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. v. 1.
LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Albert P. (Org.). Aprendendo e ensinando geometria. São Paulo: Atual, 1994.
LIVIO, Mario. Razão áurea: a história de fi, um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2006.
LORENZATO, Sergio. O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. 3ª ed. Campinas: Autores Associados, 2012.
MACHADO, Nilson José. Matemática e língua materna. 6ª ed. São Paulo: Cortez, 2011.
MOISE, Edwin; DOWNS, Floyd. Geometria moderna. São Paulo: Blucher, 1971.
NIVEN, Ivan. Números racionais e irracionais. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
PAIVA, Manoel. Matemática: conceitos e aplicações. 2ª ed. São Paulo: Moderna, 2013.
PARRA, Cecilia; SAIZ, Irma (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
POLYA, George. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações matemáticas na sala de aula. 3ª ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2013.
RÊGO, Rogéria Gaudencio do; RÊGO, Rômulo Marinho do. Matematicativa. 4ª ed. Campinas: Autores Associados, 2013.
ROSA NETO, Ernesto. Didática da matemática. 12ª ed. São Paulo: Ática, 2010.
SMOOTHEY, Marion. Atividades e jogos com escalas. São Paulo: Scipione, 1998.
SOUZA, Joamir Roberto de; PATARO, Patricia Rosana Moreno. Vontade de saber matemática. 3ª ed. São Paulo: FTD, 2015.
STEWART, Ian. Incríveis passatempos matemáticos. Rio de Janeiro: Zahar, 2010.
STRUIK, Dirk J. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1992.
TOLEDO, Marília; TOLEDO, Mauro. Teoria e prática de matemática. São Paulo: FTD, 2010.
VAN DE WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. 6ª ed. Porto Alegre: Artmed, 2009.
ZUIN, Elenice de Souza Lodron. Proporcionalidade: uma análise histórico-didática. São Paulo: Annablume, 2002.