Funções de uma Variável Real
a Valores Reais
João Carlos Moreira
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Imagine ter o poder de prever o futuro através de equações! As funções reais são exatamente isso: ferramentas matemáticas que nos permitem descrever, analisar e prever fenômenos do mundo real. Desde o movimento de um projétil até o crescimento populacional, as funções estão em toda parte. Neste capítulo inicial, embarcaremos numa jornada fascinante pelo universo das funções de uma variável real a valores reais, descobrindo como elas conectam números a números de maneira ordenada e previsível.
Uma função é como uma máquina transformadora: você insere um número (entrada) e ela produz outro número (saída) seguindo uma regra específica. O essencial é que para cada entrada válida, existe uma única saída correspondente — esta é a característica fundamental que distingue funções de relações gerais.
Uma função f: A → B é uma relação que associa cada elemento x ∈ A a um único elemento f(x) ∈ B, onde:
As funções podem ser apresentadas de várias maneiras, cada uma revelando aspectos diferentes de seu comportamento. A versatilidade dessas representações nos permite escolher a mais adequada para cada situação.
As funções são a linguagem da mudança e da relação. Quando dizemos que a temperatura varia com o tempo, estamos descrevendo uma função. Quando calculamos o custo de uma viagem baseado na distância, usamos funções. Elas são ferramentas indispensáveis para compreender padrões e fazer previsões.
Dominar a linguagem das funções significa compreender termos como variável independente (x), variável dependente (y ou f(x)), e a relação de dependência entre elas. É como aprender um novo idioma que nos permite comunicar ideias matemáticas com precisão.
Uma das aplicações mais poderosas das funções é a modelagem matemática — o processo de criar representações matemáticas de situações reais. Através das funções, transformamos observações em equações que podem ser analisadas e manipuladas.
As funções nos permitem abstrair padrões comuns em situações aparentemente diferentes. A mesma função quadrática que descreve a trajetória de uma bola também pode modelar o lucro de uma empresa. Esta universalidade revela a profunda unidade matemática subjacente ao mundo.
Cada função possui características únicas que a definem e determinam seu comportamento. Compreender essas propriedades nos permite classificar funções e prever seu comportamento sem necessariamente calcular todos os valores.
O gráfico de uma função conta sua história de forma visual. Através dele, podemos instantaneamente perceber crescimento, decrescimento, pontos especiais e comportamento geral — informações que levariam muito tempo para extrair apenas da expressão algébrica.
As funções são pontes entre diferentes áreas do conhecimento. Na física, descrevem movimento; na economia, modelam mercados; na biologia, capturam dinâmicas populacionais. Esta versatilidade torna seu estudo essencial para qualquer área quantitativa.
Com esta introdução, estabelecemos os alicerces para uma jornada profunda pelo mundo das funções reais. Nos próximos capítulos, exploraremos cada conceito em detalhes, desenvolvendo ferramentas para analisar, manipular e aplicar funções em contextos diversos.
As funções são mais que ferramentas matemáticas — são uma forma de pensar sobre relações e mudanças. Ao dominar seu estudo, você desenvolverá uma intuição poderosa para compreender padrões e resolver problemas em qualquer área. Prepare-se para descobrir como a matemática das funções ilumina o funcionamento do mundo ao nosso redor!
Todo explorador precisa conhecer seu território! No mundo das funções, o domínio, contradomínio e imagem são os mapas que delimitam onde podemos navegar. Neste capítulo, descobriremos como identificar os valores permitidos para uma função, onde ela pode chegar e quais destinos realmente alcança. Prepare-se para dominar os conceitos fundamentais que determinam o alcance e as limitações de cada função!
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida e produz um resultado real. É como o conjunto de ingredientes disponíveis para uma receita — nem todos os ingredientes possíveis, apenas aqueles que fazem sentido para o prato que queremos preparar.
Para encontrar o domínio, procuramos restrições:
Vamos explorar como encontrar o domínio de diferentes tipos de funções, desenvolvendo intuição para identificar rapidamente as restrições.
O contradomínio é o conjunto de chegada declarado para a função. É como dizer "esta função leva números reais em números reais" — uma declaração sobre onde a função pode potencialmente chegar, não necessariamente onde ela realmente chega.
A imagem é o conjunto de todos os valores que a função realmente assume — os destinos efetivamente visitados. Enquanto o contradomínio é uma promessa, a imagem é a realidade.
Domínio, contradomínio e imagem formam uma tríade interconectada. A imagem está sempre contida no contradomínio, e a função estabelece a ponte entre domínio e imagem.
O domínio natural é determinado por restrições matemáticas, enquanto o domínio contextual considera as limitações práticas do problema modelado.
Quando combinamos funções, os domínios interagem de maneiras específicas. Compreender essas interações é crucial para trabalhar com funções compostas.
Para funções mais complexas, técnicas específicas ajudam a determinar domínio e imagem com precisão.
O gráfico de uma função revela visualmente seu domínio (projeção no eixo x) e sua imagem (projeção no eixo y), tornando a análise intuitiva.
Compreender domínio e imagem é essencial para modelagem matemática e resolução de problemas reais.
Dominar os conceitos de domínio, contradomínio e imagem é como ter um GPS matemático — você sempre sabe onde está, para onde pode ir e quais caminhos são válidos. Esses conceitos fundamentais não apenas previnem erros, mas também revelam a estrutura profunda das funções. Com essa base sólida, estamos prontos para explorar os diferentes tipos de funções e suas características únicas!
O mundo das funções é rico e diversificado como um ecossistema matemático! Cada tipo de função tem suas próprias características, comportamentos e aplicações. Neste capítulo, exploraremos a fascinante taxonomia das funções reais, descobrindo como classificá-las e reconhecer suas propriedades distintivas. Prepare-se para conhecer as "espécies" matemáticas que povoam o universo das funções!
Uma função injetora (ou injetiva) nunca repete valores de saída. Cada elemento da imagem tem um único correspondente no domínio, como impressões digitais — únicas e identificadoras.
Uma função f é injetora se:
Uma função sobrejetora (ou sobrejetiva) utiliza todo o contradomínio como imagem. É como um pintor que usa todas as cores da paleta — nada fica sem uso.
Funções bijetoras são simultaneamente injetoras e sobrejetoras. Estabelecem uma correspondência perfeita um-para-um entre domínio e contradomínio.
A paridade de uma função revela simetrias fundamentais em seu gráfico, simplificando análises e cálculos.
O comportamento monotônico de uma função descreve como ela varia com o aumento da variável independente.
Funções limitadas possuem valores confinados a um intervalo, como um pássaro que voa apenas dentro de certa altitude.
Funções periódicas repetem seus valores em intervalos regulares, como as estações do ano ou as fases da lua.
A continuidade significa que o gráfico pode ser desenhado sem levantar o lápis do papel — sem saltos ou buracos.
Esta classificação fundamental separa funções construídas com operações algébricas daquelas que as transcendem.
Algumas funções mudam sua regra dependendo do valor de x, como um camaleão matemático que se adapta ao ambiente.
Na prática, funções frequentemente pertencem a múltiplas categorias simultaneamente, criando rica diversidade de comportamentos.
Compreender os tipos de funções é como ter um mapa detalhado do território matemático. Cada classificação revela propriedades que facilitam análises, resoluções e aplicações. Com este conhecimento taxonômico, você pode rapidamente identificar características importantes e escolher as ferramentas adequadas para cada situação. No próximo capítulo, exploraremos como combinar estas diferentes "espécies" através de operações!
Assim como podemos combinar números através de operações, podemos criar novas funções a partir de funções existentes! Neste capítulo, exploraremos o fascinante mundo das operações com funções, descobrindo como somar, subtrair, multiplicar e dividir essas entidades matemáticas. Veremos que essas operações não apenas criam novas funções, mas revelam relações profundas entre diferentes fenômenos. Prepare-se para se tornar um verdadeiro alquimista matemático!
Somar funções é como sobrepor ondas — os efeitos se combinam ponto a ponto. Esta operação fundamental aparece naturalmente quando múltiplos fatores contribuem para um resultado.
Dadas f e g, a função soma (f + g) é definida por:
A diferença entre funções modela situações onde queremos comparar ou encontrar variações entre quantidades relacionadas.
O produto de funções surge quando fatores se multiplicam para produzir um efeito combinado, como área = comprimento × largura.
A divisão de funções permite expressar razões e proporções variáveis, mas exige cuidado especial com zeros do denominador.
As operações com funções herdam muitas propriedades das operações numéricas, mas com sutilezas importantes.
Multiplicar ou somar constantes a funções produz transformações geométricas importantes no gráfico.
Elevar funções a potências é um caso especial de multiplicação repetida, com aplicações em modelagem de fenômenos não-lineares.
Compreender como operações afetam gráficos permite visualizar rapidamente o comportamento de funções combinadas.
Operações com funções são essenciais para construir modelos matemáticos realistas de fenômenos complexos.
O comportamento de operações com funções nos limites segue regras específicas, fundamentais para o cálculo.
O conjunto de funções com operações forma estruturas algébricas ricas, conectando análise com álgebra abstrata.
As operações com funções são ferramentas poderosas que nos permitem construir complexidade a partir de simplicidade. Como um maestro que combina instrumentos para criar sinfonias, podemos combinar funções simples para modelar fenômenos sofisticados. Este domínio operacional abre caminho para técnicas ainda mais poderosas, como a composição e inversão de funções, que exploraremos no próximo capítulo!
Imagine poder encadear transformações como elos de uma corrente, ou desfazer operações como rebobinar um filme! Neste capítulo, exploraremos duas das operações mais poderosas com funções: a composição, que permite criar pipelines de transformações, e a inversão, que nos permite reverter processos. Essas ferramentas são fundamentais para resolver equações, modelar sistemas complexos e compreender a estrutura profunda das relações matemáticas.
A composição de funções é como passar um resultado por múltiplos processadores em sequência. A saída de uma função torna-se a entrada da próxima, criando uma cadeia de transformações.
Dadas f: A → B e g: B → C, a composta g∘f é:
Vamos explorar como a composição funciona na prática, desenvolvendo intuição para esta operação fundamental.
A composição possui propriedades algébricas importantes que estruturam o mundo das funções.
Uma função inversa desfaz o efeito da função original, como uma chave que abre a fechadura que ela mesma trancou.
O processo de encontrar a inversa envolve essencialmente "resolver para x" em termos de y.
Nem toda função possui inversa. Quando não é bijetora, podemos restringir domínio ou contradomínio para torná-la inversível.
A relação entre composição e inversão revela estruturas profundas no mundo das funções.
A composição modela processos sequenciais em diversas áreas do conhecimento.
Funções inversas são essenciais para resolver equações e reverter processos.
Algumas funções especiais são suas próprias inversas, criando simetrias elegantes.
Os gráficos revelam visualmente as relações entre funções, suas compostas e inversas.
A composição e inversão de funções são como superpoderes matemáticos que nos permitem construir complexidade controlada e desfazer operações à vontade. Dominar essas técnicas é essencial para resolver problemas sofisticados e compreender a estrutura profunda das relações matemáticas. Com essas ferramentas poderosas em mãos, estamos prontos para explorar classes específicas de funções, começando pelas versáteis funções polinomiais!
As funções polinomiais são as aristocratas do mundo matemático — elegantes, bem-comportadas e surpreendentemente versáteis! Construídas apenas com somas e produtos, elas modelam desde trajetórias de projéteis até tendências econômicas. Neste capítulo, exploraremos essas funções fundamentais, descobrindo seus segredos e dominando suas aplicações. Prepare-se para desvendar o poder dos polinômios!
Um polinômio é como uma receita matemática que combina potências de x com coeficientes constantes, criando uma infinidade de formas e comportamentos.
Um polinômio de grau n tem a forma:
O grau de um polinômio determina muitas de suas propriedades fundamentais, desde o número de raízes até o comportamento no infinito.
As funções lineares são as mais simples não-constantes, mas sua importância é fundamental — elas modelam taxa de variação constante.
As parábolas são onipresentes na natureza e na tecnologia, desde arcos arquitetônicos até antenas parabólicas.
O discriminante é como um oráculo que prevê o número e a natureza das raízes de uma equação quadrática.
À medida que o grau aumenta, os polinômios ganham flexibilidade para modelar comportamentos mais complexos.
Fatorar é como desmontar um mecanismo para entender suas partes — revela a estrutura interna do polinômio.
O termo de maior grau determina o destino final do polinômio quando x cresce indefinidamente.
Este teorema poderoso garante que polinômios não podem "pular" valores — uma consequência de sua continuidade.
Dados n+1 pontos distintos, existe único polinômio de grau ≤ n que passa por todos eles — uma ferramenta poderosa para aproximação.
Polinômios aparecem naturalmente em inúmeras situações práticas, tornando seu estudo essencial.
As funções polinomiais são verdadeiros canivetes suíços matemáticos — simples em estrutura mas ricas em aplicações. Sua boa comportamento (continuidade, diferenciabilidade) as torna ideais para modelagem, enquanto sua flexibilidade permite aproximar praticamente qualquer função suave. Com este domínio dos polinômios, estamos preparados para explorar funções que crescem ainda mais rapidamente: as exponenciais e logarítmicas!
Prepare-se para conhecer as funções que dominam o crescimento e o decaimento no universo! As funções exponenciais e logarítmicas são como irmãs gêmeas inversas que aparecem em fenômenos tão diversos quanto o crescimento populacional, a desintegração radioativa e os juros compostos. Neste capítulo, desvendaremos os segredos dessas funções poderosas que transformam somas em produtos e produtos em somas. Descubra por que elas são essenciais para compreender tanto o infinitamente grande quanto o infinitesimalmente pequeno!
A função exponencial é a campeã do crescimento rápido. Enquanto funções polinomiais crescem de forma previsível, a exponencial acelera sem limites, dobrando, triplicando, explodindo!
A função exponencial de base a é definida por:
Entre todas as bases possíveis, uma reina suprema: o número e ≈ 2,71828... Esta constante mágica aparece naturalmente em processos de crescimento contínuo.
As regras das exponenciais transformam operações complexas em simples manipulações algébricas.
Se a exponencial é uma explosão, o logaritmo é uma implosão controlada. Ele comprime grandes números em escalas manejáveis.
Os logaritmos transformam produtos em somas, potências em produtos — uma mágica algébrica que simplifica cálculos complexos.
Exponencial e logaritmo são funções inversas — uma desfaz o que a outra faz, como trancar e destrancar uma porta.
Estas funções modelam os fenômenos mais dramáticos da natureza — desde explosões populacionais até decaimento radioativo.
No mundo das finanças, exponenciais e logaritmos são ferramentas indispensáveis para calcular juros e retornos.
Quando os dados variam por ordens de magnitude, escalas logarítmicas tornam padrões visíveis.
Resolver estas equações requer dominar a dança entre exponenciais e logaritmos.
No infinito, exponenciais dominam polinômios, enquanto logaritmos são dominados por qualquer potência positiva de x.
As funções exponenciais e logarítmicas são as ferramentas matemáticas para lidar com o muito grande e o muito pequeno, com crescimento explosivo e compressão extrema. Elas revelam padrões em dados que variam por ordens de magnitude e modelam fenômenos fundamentais da natureza. Com este poder em mãos, estamos prontos para explorar as funções que descrevem oscilações e periodicidade: as funções trigonométricas!
Das oscilações de uma corda de violão às órbitas planetárias, o universo pulsa em ritmos periódicos! As funções trigonométricas são a linguagem matemática dessas oscilações, capturando a essência de fenômenos que se repetem ciclicamente. Neste capítulo, exploraremos estas funções fascinantes que nasceram do estudo de triângulos mas transcenderam para descrever ondas, vibrações e rotações. Prepare-se para descobrir a harmonia matemática que permeia o cosmos!
As funções trigonométricas emergem naturalmente do movimento circular, conectando geometria com análise de forma profunda e elegante.
Para um ponto P(x,y) no círculo x² + y² = 1:
Seno, cosseno e tangente formam a tríade fundamental da trigonometria, cada uma com personalidade própria.
Os gráficos das funções trigonométricas são ondas que contam histórias de movimento periódico e harmonia.
Modificando parâmetros, criamos ondas de qualquer amplitude, frequência e fase — um kit completo para modelar oscilações.
As identidades são como feitiços matemáticos que transformam expressões complexas em formas mais simples.
Para desfazer operações trigonométricas, precisamos das funções inversas — mas com cuidado, pois as originais não são injetoras!
As funções trigonométricas são a linguagem natural dos fenômenos ondulatórios e oscilatórios.
As primas hiperbólicas das funções trigonométricas aparecem em contextos não-periódicos mas igualmente importantes.
Resolver equações trigonométricas requer considerar a periodicidade e múltiplas soluções.
Qualquer função periódica pode ser decomposta em senos e cossenos — uma descoberta revolucionária com aplicações infinitas.
As funções trigonométricas modelam uma vasta gama de fenômenos cíclicos no mundo real.
As funções trigonométricas são a poesia matemática do movimento circular e das oscilações. Elas capturam a essência de fenômenos que se repetem no tempo e no espaço, desde as vibrações subatômicas até os ciclos cósmicos. Com este domínio da periodicidade, estamos prontos para integrar todo nosso conhecimento na análise gráfica de funções, onde visualização e intuição se encontram!
Um gráfico vale mais que mil equações! A representação visual de funções revela instantaneamente comportamentos que levariam páginas de cálculos para descobrir. Neste capítulo, desenvolveremos a arte de ler e construir gráficos, transformando equações abstratas em imagens reveladoras. Prepare-se para aguçar sua intuição visual e descobrir como os gráficos contam histórias matemáticas completas!
Todo gráfico tem componentes essenciais que, quando identificados, revelam a natureza profunda da função.
Os pontos onde o gráfico toca os eixos são marcos fundamentais que orientam toda a análise.
Identificar onde a função sobe ou desce é como mapear as colinas e vales de uma paisagem matemática.
A curvatura do gráfico revela aceleração e desaceleração, informações cruciais sobre o comportamento da função.
Assíntotas são como horizontes matemáticos — linhas que o gráfico se aproxima mas nunca alcança.
Reconhecer simetrias permite construir o gráfico completo conhecendo apenas parte dele.
Compreender como modificações algébricas afetam o gráfico permite visualizar famílias inteiras de funções.
Construir um esboço preciso requer método sistemático, combinando análise algébrica com intuição visual.
Ler um gráfico é extrair informação matemática e contextual, transformando curvas em conhecimento.
Ferramentas computacionais ampliam nossa capacidade de visualização, mas a interpretação humana permanece essencial.
A análise gráfica é fundamental para validar modelos matemáticos e comunicar resultados.
A análise gráfica transforma abstração em intuição, equações em imagens, e complexidade em clareza. É a ponte entre o mundo algébrico e o visual, permitindo que nossos olhos vejam o que nossa mente calcula. Com esta habilidade de ler e criar gráficos, completamos nossa jornada pelas funções reais com uma ferramenta poderosa para aplicar todo nosso conhecimento em problemas do mundo real!
Chegou a hora de ver as funções em ação no mundo real! Neste capítulo culminante, exploraremos como todo o arsenal de funções que estudamos se aplica para resolver problemas práticos, fazer previsões e compreender fenômenos complexos. Da física à economia, da biologia à engenharia, as funções são a linguagem universal para modelar a realidade. Prepare-se para transformar teoria em prática e descobrir o poder transformador da modelagem matemática!
Modelar é a arte de traduzir situações reais em linguagem matemática, criando representações simplificadas mas úteis da realidade.
As leis do movimento são expressas naturalmente através de funções, conectando posição, velocidade e aceleração.
Populações biológicas exibem diversos padrões de crescimento, cada um modelado por funções específicas.
Funções modelam desde simples transações até complexos sistemas econômicos, fornecendo insights sobre mercados e investimentos.
Desde batimentos cardíacos até ciclos econômicos, a periodicidade está em toda parte, modelada por funções trigonométricas.
Processos de decaimento aparecem em contextos diversos, sempre seguindo padrões exponenciais característicos.
Encontrar máximos e mínimos de funções resolve problemas de otimização em todas as áreas.
Encontrar a função que melhor se ajusta a dados experimentais é fundamental em ciências e engenharia.
Sistemas complexos requerem múltiplas funções interagindo, criando modelos dinâmicos ricos.
Modelos matemáticos permitem prever comportamentos futuros, mas com limitações importantes.
Um modelo só é útil se seus resultados podem ser compreendidos e aplicados por quem precisa deles.
A modelagem matemática com funções é onde a matemática encontra o mundo real, transformando abstração em ação, teoria em prática. Cada tipo de função que estudamos tem seu papel: lineares para relações proporcionais, quadráticas para otimização, exponenciais para crescimento, trigonométricas para periodicidade. Dominar a arte da modelagem é possuir uma lente poderosa para compreender e transformar o mundo. Com este conhecimento, você está equipado não apenas para resolver problemas, mas para descobrir novas questões e criar soluções inovadoras!
Esta obra foi desenvolvida com base em contribuições fundamentais de matemáticos e educadores que exploraram o vasto território das funções reais. As referências a seguir representam desde tratados clássicos que estabeleceram os fundamentos teóricos até obras contemporâneas que apresentam abordagens pedagógicas inovadoras, sempre em consonância com as diretrizes da Base Nacional Comum Curricular para o ensino de matemática.
ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. 10ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. v. 1.
ÁVILA, Geraldo. Cálculo das Funções de uma Variável. 7ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. v. 1.
BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.
BRASIL. Base Nacional Comum Curricular: Ensino Médio. Brasília: MEC/Secretaria de Educação Básica, 2018.
CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática. 9ª ed. Lisboa: Gradiva, 2016.
CARNEIRO, José Paulo Q.; MOREIRA, Carlos Gustavo. Funções Reais: Propriedades e Gráficos. Rio de Janeiro: SBM, 2019.
CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. Introdução à Análise Real. Rio de Janeiro: SBM, 2018.
COURANT, Richard; ROBBINS, Herbert. O Que é Matemática? Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2000.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto e Aplicações. 3ª ed. São Paulo: Ática, 2016. v. 1.
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 2ª ed. São Paulo: Pearson, 2013.
DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2017.
EDWARDS, C. Henry; PENNEY, David E. Cálculo com Geometria Analítica. Rio de Janeiro: LTC, 1997. v. 1.
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. 2ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013.
FLEMMING, Diva Marília; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação e Integração. 6ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GELSON, Iezzi; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. 9ª ed. São Paulo: Atual, 2013. v. 1.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. v. 1.
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de Física. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
HEFEZ, Abramo; VILLELA, Maria Lúcia Torres. Polinômios e Equações Algébricas. Rio de Janeiro: SBM, 2018.
HOFFMANN, Laurence D.; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações. 11ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto; ALMEIDA, Nilze de. Matemática: Ciência e Aplicações. 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2016. v. 1.
KUHLKAMP, Nilo. Cálculo 1. 3ª ed. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2015.
LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce H. Cálculo com Aplicações. 10ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. v. 1.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. v. 1.
LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio. 11ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v. 1.
LIMA, Elon Lages. Análise Real: Funções de uma Variável. 12ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016. v. 1.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise. 14ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2016. v. 1.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio. 11ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2016. v. 1.
LOPES, Luís. Manual de Progressões. Rio de Janeiro: Interciência, 1998.
MACHADO, Antonio dos Santos. Funções, Derivadas e Integrais. São Paulo: Atual, 2003.
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton O. Cálculo: Funções de uma Variável. 2ª ed. São Paulo: Saraiva, 2013.
MUNEM, Mustafa A.; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 1982. v. 1.
NETO, Antonio Caminha Muniz. Fundamentos de Cálculo. Rio de Janeiro: SBM, 2015.
PAIVA, Manoel. Matemática: Paiva. 3ª ed. São Paulo: Moderna, 2015. v. 1.
PISKOUNOV, Nikolai. Cálculo Diferencial e Integral. 19ª ed. Porto: Lopes da Silva, 2002. v. 1.
SAFIER, Fred. Pré-Cálculo. 2ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
SANTOS, Reginaldo J. Introdução ao Cálculo. Belo Horizonte: Imprensa Universitária da UFMG, 2013.
SILVA, Sebastião Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. Matemática Básica para Cursos Superiores. 2ª ed. São Paulo: Atlas, 2018.
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 1987. v. 1.
SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática: Ensino Médio. 9ª ed. São Paulo: Saraiva, 2016. v. 1.
SOUZA, Joamir. Novo Olhar: Matemática. 3ª ed. São Paulo: FTD, 2016. v. 1.
SPIVAK, Michael. Calculus. 4th ed. Houston: Publish or Perish, 2008.
STEWART, James. Cálculo. 8ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2017. v. 1.
STRANG, Gilbert. Calculus. 3rd ed. Wellesley: Wellesley-Cambridge Press, 2017.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 1994. v. 1.
TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração e Economia. 3ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2014.
THOMAS, George B.; WEIR, Maurice D.; HASS, Joel. Cálculo. 12ª ed. São Paulo: Pearson, 2013. v. 1.
TÁBOAS, Plácido Zoega. Cálculo em uma Variável Real. São Paulo: EDUSP, 2008.
WAGNER, Eduardo. Construções Geométricas. 6ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2015.
ZILL, Dennis G.; WRIGHT, Warren S. Cálculo de uma Variável: Primeiros Passos. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2015.