Derivadas e Aplicações
O Cálculo Diferencial na Prática
João Carlos Moreira
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Imagine que você está dirigindo um carro e olha para o velocímetro. Naquele exato instante, ele marca 80 km/h. Mas o que isso realmente significa? Como o velocímetro "sabe" sua velocidade naquele momento específico? A resposta está no coração de um dos conceitos mais revolucionários da matemática: a derivada. Este conceito transformou nossa compreensão sobre mudança, movimento e variação, abrindo portas para avanços tecnológicos que moldaram o mundo moderno.
Durante séculos, matemáticos conseguiam calcular velocidades médias sem dificuldade. Se você percorre 120 quilômetros em 2 horas, sua velocidade média é 60 km/h. Simples assim. Mas e se quisermos saber sua velocidade exata às 14:37? Ou no momento preciso em que você cruza um radar? Este desafio aparentemente simples escondeu sua solução por milênios, até que mentes brilhantes como Newton e Leibniz desenvolveram o cálculo diferencial.
Como calcular a velocidade em um instante se velocidade é distância dividida por tempo, e em um instante o tempo é zero? Dividir por zero é impossível! A genialidade está em pensar em intervalos de tempo cada vez menores, aproximando-se de zero sem nunca chegar lá.
Vamos pensar em um exemplo concreto. Imagine uma bola sendo lançada para cima. Sua altura h em metros após t segundos é dada por h(t) = 20t - 5t². Se quisermos saber a velocidade após 2 segundos, podemos calcular a velocidade média em intervalos cada vez menores ao redor desse instante.
Percebe o padrão? À medida que o intervalo diminui, a velocidade média se aproxima de 0 m/s!
A ideia revolucionária foi formalizar esse processo de "aproximação infinita" através do conceito de limite. Em vez de tentar dividir por zero, calculamos o que acontece quando nos aproximamos cada vez mais de zero. É como se estivéssemos usando um microscópio matemático cada vez mais potente para examinar o comportamento da função em um ponto.
Considere a função f(x) = x². Para encontrar a taxa de variação em x = 3:
Com o conceito de limite estabelecido, podemos definir a derivada de uma função f em um ponto x como:
f'(x) = lim[h→0] [f(x + h) - f(x)] / h
Esta fórmula captura a essência da taxa de variação instantânea: é o limite das taxas de variação médias quando o intervalo se aproxima de zero.
A beleza da derivada está em suas múltiplas interpretações, cada uma revelando um aspecto diferente deste conceito fundamental:
As derivadas revolucionaram não apenas a matemática, mas todas as ciências. Elas nos permitem:
Ao longo da história, diferentes notações foram desenvolvidas para representar derivadas, cada uma com suas vantagens:
Vamos calcular algumas derivadas simples para ganhar intuição:
Observe o padrão: a potência "desce" multiplicando e diminui em 1!
Este capítulo introdutório apenas arranhou a superfície do vasto mundo das derivadas. Nos próximos capítulos, exploraremos técnicas poderosas para calcular derivadas de funções complexas, descobriremos suas aplicações surpreendentes e veremos como elas conectam áreas aparentemente distintas do conhecimento humano.
As derivadas são mais que uma ferramenta matemática — elas são uma nova maneira de pensar sobre mudança e variação. Ao dominar este conceito, você ganhará uma lente poderosa para entender o mundo dinâmico ao nosso redor. Prepare-se para uma jornada fascinante pelo cálculo diferencial!
Tudo ao nosso redor está em constante mudança. A temperatura sobe e desce ao longo do dia, populações crescem e diminuem, preços flutuam no mercado, e até mesmo as montanhas mudam sua altura ao longo de milhões de anos. A derivada nos dá o poder de quantificar precisamente essas mudanças, revelando não apenas que algo está mudando, mas exatamente quão rápido essa mudança ocorre em cada instante.
A taxa de variação é simplesmente uma medida de quanto uma quantidade muda em relação a outra. No dia a dia, encontramos taxas de variação constantemente: quilômetros por hora, reais por mês, graus por minuto. A derivada eleva esse conceito a um novo patamar, permitindo-nos calcular taxas de variação instantâneas.
A velocidade foi historicamente a primeira aplicação importante das derivadas. Galileu estudou objetos em queda, mas foi Newton quem formalizou matematicamente o conceito de velocidade instantânea.
Um objeto em queda livre tem posição s(t) = 4,9t² metros após t segundos.
Se a velocidade é a taxa de variação da posição, a aceleração é a taxa de variação da velocidade. Matematicamente, é a derivada da derivada — o que chamamos de segunda derivada.
Para um carro com posição s(t) = 2t³ - 3t² + 12t:
Os economistas usam derivadas constantemente para analisar como quantidades econômicas mudam. O conceito de "marginal" em economia é essencialmente uma derivada.
Biólogos e demógrafos usam derivadas para modelar como populações mudam ao longo do tempo. A taxa de crescimento populacional é fundamental para previsões e planejamento.
Uma colônia de bactérias cresce segundo P(t) = 100 · 2ᵗ, onde t é o tempo em horas.
Meteorologistas e engenheiros precisam entender como a temperatura muda ao longo do tempo e do espaço. As derivadas são essenciais nessa análise.
A temperatura T em graus Celsius pode ser modelada por T(h) = 20 + 8cos(π(h-14)/12), onde h é a hora do dia.
Engenheiros hidráulicos usam derivadas para analisar como a água flui através de tubulações, rios e canais. A vazão é uma taxa de variação fundamental.
Um tanque cilíndrico está vazando. O volume V(t) = 1000 - 5t² litros.
No mundo real, muitas quantidades estão interligadas. Quando uma muda, outras também mudam. As derivadas nos permitem relacionar essas taxas de mudança.
Uma pessoa de 1,8m caminha afastando-se de um poste de 6m de altura a 1,5 m/s. Quão rápido sua sombra cresce?
Graficamente, a taxa de variação em um ponto é a inclinação da curva naquele ponto. Isso nos dá uma maneira visual poderosa de entender derivadas.
Na era digital, as derivadas estão por trás de muitas tecnologias que usamos diariamente:
As taxas de variação estão em toda parte, desde o batimento do nosso coração até a expansão do universo. A derivada nos dá a linguagem matemática para descrever, analisar e prever essas mudanças com precisão. No próximo capítulo, aprenderemos as regras que tornam o cálculo de derivadas não apenas possível, mas também elegante e eficiente.
Calcular derivadas usando a definição por limites funciona, mas é como construir uma casa usando apenas um martelo — possível, porém trabalhoso. Felizmente, matemáticos desenvolveram um conjunto elegante de regras que transformam o cálculo de derivadas em um processo sistemático e eficiente. Estas regras são como ferramentas especializadas que tornam o trabalho não apenas mais fácil, mas também mais preciso e confiável.
A regra mais fundamental e útil é a regra da potência. Ela transforma o cálculo de derivadas de polinômios em algo quase trivial.
Se f(x) = xⁿ, então f'(x) = n · xⁿ⁻¹
Algumas regras simples, mas poderosas, formam a base de todo cálculo de derivadas:
Com estas regras, podemos derivar qualquer polinômio!
Quando multiplicamos duas funções, a derivada não é simplesmente o produto das derivadas. A regra do produto revela a estrutura correta:
Se h(x) = f(x) · g(x), então h'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
Exemplo: Derivar h(x) = x² · (3x + 1)
Dividir funções também requer uma regra especial. A regra do quociente é um pouco mais complexa, mas segue um padrão lógico:
Se h(x) = f(x) / g(x), então h'(x) = [f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)] / [g(x)]²
Memorização: "Derivada do numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo sobre denominador ao quadrado"
A regra da cadeia é talvez a mais poderosa de todas. Ela nos permite derivar composições de funções, abrindo um universo de possibilidades:
Se h(x) = f(g(x)), então h'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
Exemplo: Derivar h(x) = (3x + 2)⁴
As funções exponenciais têm propriedades únicas que tornam suas derivadas especialmente elegantes:
Os logaritmos, sendo inversos das exponenciais, têm derivadas que refletem essa relação:
Nem sempre as funções estão na forma y = f(x). A derivação implícita nos permite encontrar derivadas mesmo quando x e y estão misturados:
Para x² + y² = 25 (círculo):
Antes de derivar, muitas vezes vale a pena simplificar a expressão:
Memorizar estas derivadas básicas acelera significativamente os cálculos:
Conhecer os erros típicos ajuda a evitá-los:
As regras de derivação são como um kit de ferramentas matemáticas. Dominá-las transforma problemas complexos em exercícios rotineiros, liberando nossa mente para focar nas aplicações e interpretações. Com estas regras em mãos, estamos prontos para explorar o significado geométrico das derivadas no próximo capítulo!
Imagine-se escalando uma montanha. Em alguns trechos, a subida é suave e gradual; em outros, íngreme e desafiadora. A inclinação do terreno sob seus pés muda constantemente. A derivada captura matematicamente essa ideia de inclinação, revelando não apenas se estamos subindo ou descendo, mas exatamente quão íngreme é o caminho em cada ponto. Esta interpretação geométrica da derivada como inclinação é uma das mais intuitivas e poderosas do cálculo.
No coração da interpretação geométrica está o conceito de reta tangente. Diferente de uma reta secante que corta a curva em dois pontos, a tangente "beija" a curva em apenas um ponto, capturando perfeitamente a direção da curva naquele instante.
O sinal da derivada nos conta uma história sobre o comportamento da função:
Desenvolver intuição visual para derivadas é fundamental. Vamos explorar alguns exemplos clássicos:
Onde a derivada é zero, algo especial acontece. Estes são os pontos críticos, candidatos a máximos e mínimos:
Se a primeira derivada nos diz sobre subidas e descidas, a segunda derivada revela como a inclinação está mudando:
Engenheiros usam derivadas para projetar estradas seguras e confortáveis:
A habilidade de "ler" derivadas em gráficos é valiosa em muitas áreas:
A reta tangente fornece a melhor aproximação linear de uma função perto de um ponto:
Para f(x) = √x perto de x = 4:
Muitos problemas de otimização têm interpretações geométricas claras:
Com 100m de cerca, qual retângulo tem área máxima?
Imagine um carro seguindo uma pista curva. A derivada determina sua direção instantânea:
Até artistas e designers usam conceitos de derivadas, mesmo intuitivamente:
A interpretação geométrica da derivada como inclinação transforma equações abstratas em conceitos visuais concretos. Esta ponte entre álgebra e geometria é uma das grandes conquistas do cálculo, permitindo-nos ver matematicamente o que nossos olhos percebem intuitivamente. No próximo capítulo, exploraremos como usar essa compreensão para encontrar os pontos mais altos e mais baixos — os máximos e mínimos que são cruciais em tantas aplicações práticas.
Na vida, frequentemente buscamos o melhor: o caminho mais curto, o custo mais baixo, o lucro máximo, a eficiência ideal. A matemática das derivadas nos oferece ferramentas precisas para encontrar esses pontos ótimos. Seja projetando a lata de refrigerante mais econômica ou determinando a dose ideal de um medicamento, os conceitos de máximos e mínimos são fundamentais para a tomada de decisões inteligentes em um mundo de recursos limitados.
Nem todos os pontos altos são iguais. Imagine uma cordilheira: cada pico é um máximo local, mas apenas o Everest é o máximo global. Esta distinção é crucial no cálculo:
A primeira derivada nos conta onde a função para de crescer ou decrescer — os candidatos a extremos:
Para f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2:
A segunda derivada oferece um atalho elegante para classificar pontos críticos:
Vamos aplicar essas ferramentas a problemas reais que têm fascinado matemáticos por séculos:
De uma folha quadrada de 20cm, cortar quadrados nos cantos para fazer uma caixa aberta. Qual corte maximiza o volume?
No mundo real, raramente temos liberdade total. Restrições limitam nossas escolhas:
Cercar área retangular usando rio como um lado. Com 1000m de cerca, maximizar área:
Empresas constantemente buscam minimizar custos mantendo a qualidade:
Projetar lata cilíndrica de 355ml minimizando material:
Encontrar o preço ideal é crucial para o sucesso nos negócios:
Demanda: q = 1000 - 50p (unidades vendidas vs. preço)
Problemas de tempo mínimo aparecem em logística e física:
A luz viaja pelo caminho mais rápido. Nadador deve alcançar pessoa no mar:
Dosagens de medicamentos requerem otimização cuidadosa:
Um roteiro sistemático para problemas de otimização:
Os conceitos de máximos e mínimos transformam o cálculo em uma ferramenta poderosa para tomada de decisões. Desde a natureza, que minimiza energia em suas formas, até empresas maximizando lucros, a otimização está em toda parte. Dominar essas técnicas nos permite encontrar soluções ideais em um mundo de trade-offs e limitações. No próximo capítulo, veremos como essas ideias se aplicam especificamente aos fenômenos físicos, onde as leis da natureza frequentemente se expressam através de princípios de otimização.
A física e o cálculo nasceram juntos, entrelaçados como gêmeos inseparáveis. Newton desenvolveu o cálculo precisamente porque precisava de uma linguagem matemática para descrever o movimento dos corpos e as leis que governam o universo. Hoje, as derivadas são tão fundamentais para a física quanto as notas musicais são para a música. Neste capítulo, exploraremos como as derivadas iluminam os fenômenos físicos, desde o movimento de uma bola até a propagação da luz.
A cinemática usa derivadas para conectar posição, velocidade e aceleração em uma hierarquia elegante:
Galileu intuiu, mas o cálculo provou: todos os objetos caem com a mesma aceleração:
Um objeto solto do repouso a 100m de altura:
Quando lançamos objetos, a gravidade e a inércia criam trajetórias parabólicas:
Projétil lançado com velocidade v₀ e ângulo θ:
Molas e pêndulos revelam um padrão universal de oscilação:
Força: F = -kx (Lei de Hooke)
As derivadas conectam força, trabalho e energia em relações fundamentais:
A temperatura de objetos quentes diminui proporcionalmente à diferença de temperatura:
Temperatura T(t) com ambiente a 20°C:
Corrente é a derivada da carga, criando relações elegantes em circuitos:
As derivadas descrevem como perturbações se propagam através do espaço:
Deslocamento: y(x,t) = A sen(kx - ωt)
A luz segue caminhos que minimizam o tempo de viagem:
Derivadas descrevem como fluidos escoam e exercem forças:
Até Einstein usou derivadas para revolucionar nossa compreensão do espaço-tempo:
As derivadas são a linguagem natural da física, capturando a essência da mudança e do movimento no universo. Desde a queda de uma maçã até a curvatura do espaço-tempo, elas revelam as leis fundamentais que governam a realidade. Esta conexão profunda entre matemática e natureza continua a inspirar descobertas, mostrando que o cálculo não é apenas uma ferramenta, mas uma janela para compreender o cosmos. No próximo capítulo, exploraremos como essas mesmas ferramentas nos ajudam a tomar decisões ótimas em situações práticas do dia a dia.
Vivemos em um mundo de recursos limitados e desejos ilimitados. Como fazer mais com menos? Como alcançar o melhor resultado possível dentro das restrições que enfrentamos? Desde empresas maximizando lucros até a natureza minimizando energia, a otimização está em toda parte. As derivadas nos fornecem as ferramentas matemáticas precisas para encontrar essas soluções ideais, transformando intuições em estratégias concretas e mensuráveis.
O primeiro e mais crucial passo na otimização é traduzir situações reais em linguagem matemática:
Um clássico que ilustra todos os elementos da otimização:
Um fazendeiro tem 100 hectares e R$ 40.000 para plantar milho e soja:
A indústria enfrenta constantemente o desafio de minimizar custos de material:
Criar caixa de 2000 cm³ com base quadrada, minimizando papelão:
Empresas de entrega enfrentam complexos problemas de otimização diariamente:
Minimizar tempo total considerando distância e tráfego:
Decisões financeiras são essencialmente problemas de otimização:
Custo unitário: C(q) = 1000/q + 2q + 50 reais
A dosagem de medicamentos requer equilíbrio delicado entre eficácia e segurança:
Eficácia E(d) = 100d/(d+10) - 2d (d em mg)
Projetar estruturas seguras e econômicas é um exercício de otimização:
Com seção transversal retangular de área fixa 100 cm²:
Otimizar o uso de energia é crucial para o futuro do planeta:
Ângulo ótimo considerando estações:
Um guia prático para abordar problemas de otimização:
Na vida real, frequentemente queremos otimizar múltiplos objetivos conflitantes:
A otimização continua evoluindo com novas tecnologias:
A otimização é onde a matemática encontra a tomada de decisão. Cada problema resolvido representa recursos economizados, eficiência aumentada, ou vidas melhoradas. As derivadas nos dão o poder de encontrar não apenas soluções, mas as melhores soluções possíveis. Esta busca pela excelência, guiada pelo rigor matemático, continuará a impulsionar inovações e melhorias em todos os aspectos da vida humana. No próximo capítulo, exploraremos como múltiplas quantidades relacionadas mudam juntas, expandindo ainda mais nosso arsenal de resolução de problemas.
No mundo real, nada existe em isolamento. Quando você enche um balão, seu raio aumenta, mas também sua área superficial e seu volume — e cada um muda em uma taxa diferente! Quando uma escada escorrega pela parede, o topo desce enquanto a base se afasta, em uma dança coordenada ditada pela geometria. Os problemas de taxas relacionadas capturam essas interconexões, mostrando como a mudança em uma quantidade provoca mudanças em outras, criando uma sinfonia de variações interdependentes.
Taxas relacionadas exploram como diferentes quantidades que estão conectadas por uma relação matemática mudam ao longo do tempo:
Um exemplo clássico que ilustra belamente o conceito:
Ar entra em um balão esférico a 100 cm³/s. Quão rápido o raio cresce quando r = 10 cm?
Um problema que conecta geometria com movimento:
Escada de 5m escorrega: base se afasta a 0,5 m/s. Quão rápido o topo desce quando está a 3m do chão?
Problemas com volumes variáveis testam nossa visualização tridimensional:
Cone invertido (raio = altura) enche a 2 L/min. Taxa de subida quando h = 30 cm?
A luz cria relações geométricas fascinantes:
Pessoa de 1,8m se afasta de poste de 6m a 1,2 m/s. Velocidade da ponta da sombra?
Radares e GPS dependem de taxas relacionadas:
Avião voa horizontalmente a 600 km/h, 8 km de altitude. Taxa de mudança da distância ao radar quando está 10 km distante?
Mercados são sistemas de quantidades inter-relacionadas:
Demanda: q = 1000 - 40p. Preço sobe R$ 0,50/semana. Taxa de mudança da receita quando p = R$ 10?
O corpo humano é um sistema complexo de taxas relacionadas:
Lei de Poiseuille: Fluxo F = kr⁴. Se placa reduz raio a 2%/ano, como muda o fluxo?
Um método sistemático para abordar taxas relacionadas:
Armadilhas típicas em problemas de taxas relacionadas:
Taxas relacionadas aparecem em contextos sofisticados:
Taxas relacionadas revelam as conexões ocultas entre quantidades aparentemente independentes. Elas nos ensinam que, em um mundo interconectado, nenhuma mudança acontece isoladamente — cada variação propaga seus efeitos através de uma rede de relações matemáticas. Dominar este conceito nos permite prever e controlar sistemas complexos, desde o fluxo de tráfego até o crescimento econômico. No próximo capítulo, usaremos todo nosso conhecimento sobre derivadas para analisar e esboçar gráficos de funções, revelando seus segredos visuais.
Um gráfico vale mais que mil equações! A análise gráfica usando derivadas transforma símbolos algébricos abstratos em curvas visuais reveladoras. Como um detetive matemático, as derivadas nos permitem descobrir todos os segredos de uma função: onde ela sobe ou desce, onde se curva, onde atinge extremos. Esta habilidade de "ler" o comportamento de funções através de suas derivadas é essencial em ciência, engenharia e análise de dados.
Para analisar completamente uma função, usamos um conjunto sistemático de ferramentas:
A primeira derivada é nosso radar para detectar subidas e descidas:
A segunda derivada revela a curvatura da função:
Continuando o exemplo anterior:
Como a função se comporta quando x cresce sem limites?
Vamos analisar completamente uma função mais complexa:
Um método sistemático para esboçar gráficos:
Reconhecer padrões em famílias de funções acelera a análise:
Na era do big data, interpretar gráficos é crucial:
Vendas mensais seguem S(t) = 1000 + 500sen(πt/6):
Como mudanças na função afetam o gráfico:
Ler gráficos de derivadas conta histórias sobre a função original:
Ferramentas modernas ampliam nossas capacidades:
Algumas funções exibem comportamentos surpreendentes:
f(x) = x⁴ - 4x³ + 4x²
A análise gráfica através de derivadas transforma equações em insights visuais. Esta habilidade de "ver" matematicamente é fundamental em todas as áreas onde dados e funções aparecem — de previsões econômicas a diagnósticos médicos. As derivadas são nossos óculos matemáticos, revelando padrões e comportamentos que seriam invisíveis a olho nu. No próximo e último capítulo, exploraremos como essas ferramentas poderosas se aplicam aos desafios e oportunidades do nosso dia a dia.
As derivadas não vivem apenas nos livros de matemática — elas pulsam no ritmo da vida diária, escondidas em cada mudança que observamos. Do café esfriando pela manhã ao trânsito fluindo nas ruas, do crescimento de investimentos às decisões médicas, as taxas de variação moldam nossa experiência cotidiana. Neste capítulo final, revelaremos como os conceitos que estudamos aparecem disfarçados nas situações mais comuns, transformando você em um detetive das derivadas no mundo real.
Suas finanças pessoais são um laboratório vivo de derivadas:
Cada vez que você dirige, usa conceitos de cálculo intuitivamente:
Seu corpo é uma sinfonia de taxas de variação:
A cozinha é um laboratório de taxas de transferência:
O mundo digital é governado por algoritmos baseados em derivadas:
Atletas e entusiastas do fitness usam princípios de otimização constantemente:
As questões ambientais são essencialmente sobre taxas de mudança:
Decisões inteligentes frequentemente envolvem análise de taxas:
Até a beleza tem suas derivadas:
Até as emoções têm suas taxas de variação:
As aplicações continuam se expandindo com novas tecnologias:
Como reconhecer derivadas no dia a dia:
As derivadas são a linguagem matemática da mudança, e mudança é a única constante em nossas vidas. Ao compreender este conceito fundamental, ganhamos uma nova perspectiva sobre o mundo — vemos não apenas onde as coisas estão, mas para onde estão indo e quão rápido chegarão lá. Esta visão dinâmica da realidade nos torna melhores tomadores de decisão, mais conscientes das oportunidades e riscos, e mais conectados com os ritmos naturais e artificiais que nos cercam. Que este conhecimento inspire você a ver a matemática não como abstração distante, mas como ferramenta viva para navegar e prosperar em um mundo em constante transformação!
Este material foi desenvolvido com base em obras fundamentais do cálculo diferencial e suas aplicações práticas, seguindo as diretrizes da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) para o ensino de Matemática. As referências a seguir representam contribuições essenciais de matemáticos, educadores e pesquisadores que dedicaram seus esforços ao desenvolvimento e ensino do cálculo diferencial, desde os fundamentos teóricos até as aplicações contemporâneas em diversas áreas do conhecimento.
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