Gabarito Passo a Passo - Prova de Cálculo Diferencial e Integral

Gabarito Passo a Passo

Prova de Cálculo Diferencial e Integral 1

Índice

Questão 1
Resposta: C
Calcule o valor do limite: limx→2 (x³ - 8)/(x - 2)
Observamos que ao substituir x = 2 diretamente, obtemos uma indeterminação do tipo 0/0:
limx→2 (x³ - 8)/(x - 2) = (2³ - 8)/(2 - 2) = (8 - 8)/0 = 0/0
Para resolver esta indeterminação, vamos fatorar o numerador. Notamos que x³ - 8 = x³ - 2³, que é uma diferença de cubos.
x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)
Substituindo esta fatoração na expressão original:
limx→2 (x³ - 8)/(x - 2) = limx→2 [(x - 2)(x² + 2x + 4)]/(x - 2) = limx→2 (x² + 2x + 4)
O fator comum (x - 2) se cancela, eliminando a indeterminação.
Agora podemos calcular o limite por substituição direta:
limx→2 (x² + 2x + 4) = 2² + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Portanto, limx→2 (x³ - 8)/(x - 2) = 12, e a resposta correta é a alternativa C.
Questão 2
Resposta: B
Determine o valor do limite: limx→0 (sen 3x)/(5x)
Este limite envolve uma expressão trigonométrica. Recordemos que o limite fundamental:
limθ→0 (sen θ)/θ = 1
Para aplicar este limite fundamental, vamos manipular a expressão:
limx→0 (sen 3x)/(5x) = limx→0 (sen 3x)/(3x) · 3/5
Observe que a primeira parte da expressão tem a forma do limite fundamental, com θ = 3x. Quando x → 0, temos que 3x → 0.
limx→0 (sen 3x)/(3x) = 1
Portanto:
limx→0 (sen 3x)/(5x) = limx→0 (sen 3x)/(3x) · 3/5 = 1 · 3/5 = 3/5
O valor do limite é 3/5, correspondendo à alternativa B.
Questão 3
Resposta: B
Avalie a continuidade da função f(x) = (x² - 4)/(x - 2) no ponto x = 2.
Para analisar a continuidade no ponto x = 2, precisamos verificar três condições:
  1. Se f(2) existe (ou seja, se a função está definida em x = 2)
  2. Se limx→2 f(x) existe
  3. Se limx→2 f(x) = f(2)
Primeiro, verificamos se f(2) existe:
f(2) = (2² - 4)/(2 - 2) = (4 - 4)/0 = 0/0
Como temos uma divisão por zero, a função não está definida em x = 2.
Em seguida, calculamos o limite quando x → 2. Para isso, vamos fatorar o numerador:
x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
Substituindo na função original:
f(x) = (x² - 4)/(x - 2) = (x + 2)(x - 2)/(x - 2) = x + 2
Esta simplificação é válida para todo x ≠ 2, pois não podemos dividir por zero.
Agora podemos calcular o limite:
limx→2 f(x) = limx→2 (x + 2) = 2 + 2 = 4
Portanto, o limite existe, mas a função não está definida em x = 2. Temos uma descontinuidade removível, pois poderíamos redefinir a função fazendo f(2) = 4 para torná-la contínua.
A função é descontínua em x = 2, mas pode ser redefinida para torná-la contínua com valor f(2) = 4, correspondendo à alternativa B.
Questão 4
Resposta: A
Determine o valor de k para o qual a função definida por partes abaixo seja contínua em x = 3:
f(x) = x² - 1 se x < 3
f(x) = kx + 2 se x ≥ 3
Para que a função seja contínua em x = 3, é necessário que os limites laterais sejam iguais:
limx→3⁻ f(x) = limx→3⁺ f(x)
Calculamos o limite pela esquerda:
limx→3⁻ f(x) = limx→3⁻ (x² - 1) = 3² - 1 = 9 - 1 = 8
Calculamos o limite pela direita:
limx→3⁺ f(x) = limx→3⁺ (kx + 2) = k(3) + 2 = 3k + 2
Para que a função seja contínua, igualamos os dois limites:
limx→3⁻ f(x) = limx→3⁺ f(x)
8 = 3k + 2
3k = 6
k = 2
Para que a função seja contínua em x = 3, o valor de k deve ser 2, correspondendo à alternativa A.
Questão 5
Resposta: A
Calcule a derivada da função f(x) = 3x⁴ - 5x² + 7x - 2.
Para calcular a derivada de um polinômio, aplicamos a regra da potência e a linearidade da derivada (a derivada de uma soma é a soma das derivadas).
Derivando termo a termo:
f'(x) = d/dx[3x⁴ - 5x² + 7x - 2]
Para o termo 3x⁴:
d/dx[3x⁴] = 12x³
Para o termo -5x²:
d/dx[-5x²] = -5 · 2x = -10x
Para o termo 7x:
d/dx[7x] = 7
Para o termo -2:
d/dx[-2] = 0
A derivada de uma constante é zero.
Combinando todos os termos:
f'(x) = 12x³ - 10x + 7
A derivada da função é f'(x) = 12x³ - 10x + 7, correspondendo à alternativa A.
Questão 6
Resposta: D
Calcule a derivada da função g(x) = (2x + 3)⁵.
Para calcular esta derivada, usaremos a regra da cadeia. Se g(x) = [h(x)]ⁿ, então:
g'(x) = n · [h(x)]ⁿ⁻¹ · h'(x)
Em nosso caso, h(x) = 2x + 3 e n = 5:
g'(x) = 5 · (2x + 3)⁴ · d/dx[2x + 3]
Calculamos a derivada de h(x):
d/dx[2x + 3] = 2
Substituindo na expressão da regra da cadeia:
g'(x) = 5 · (2x + 3)⁴ · 2
Simplificando:
g'(x) = 10 \cdot (2x + 3)⁴
Ou, de forma equivalente:
g'(x) = 5(2x + 3)⁴ \cdot 2
A derivada da função é g'(x) = 5(2x + 3)⁴ · 2 = 10(2x + 3)⁴, correspondendo à alternativa D.
Questão 7
Resposta: A
Determine a derivada da função h(x) = (x² + 1)/(x - 2).
Para derivar esta função racional, usamos a regra do quociente:
Se h(x) = f(x)/g(x), então h′(x) = [f′(x) · g(x) - f(x) · g′(x)]/[g(x)]²
Identificamos que f(x) = x² + 1 e g(x) = x - 2.
Calculamos as derivadas de f(x) e g(x):
f′(x) = d/dx[x² + 1] = 2x
g′(x) = d/dx[x - 2] = 1
Aplicando a regra do quociente:
h′(x) = [2x · (x - 2) - (x² + 1) · 1]/[(x - 2)²]
Desenvolvendo o numerador:
2x(x - 2) - (x² + 1) = 2x² - 4x - x² - 1 = x² - 4x - 1
Portanto:
h′(x) = (x² - 4x - 1)/[(x - 2)²]
A derivada da função é h′(x) = (x² - 4x - 1)/(x - 2)², que corresponde à alternativa A.
Note que podemos escrever esta expressão de forma equivalente como h′(x) = (2x(x-2) - (x²+1))/(x-2)², que é a forma apresentada na alternativa A.
Questão 8
Resposta: A ou B
Usando a regra da cadeia, calcule a derivada de f(x) = ln(sen(x²)).
Esta função é uma composição de várias funções. Aplicaremos a regra da cadeia em etapas.
Seja u = sen(x²), então f(x) = ln(u).
A derivada do logaritmo natural é:
d/du[ln(u)] = 1/u
Pela regra da cadeia:
f'(x) = 1/sen(x²) · d/dx[sen(x²)]
Agora, para calcular d/dx[sen(x²)], consideramos v = x², então sen(x²) = sen(v).
A derivada do seno é:
d/dv[sen(v)] = cos(v)
E a derivada de x² é:
d/dx[x²] = 2x
Portanto:
d/dx[sen(x²)] = cos(x²) · 2x
Combinando tudo:
f'(x) = 1/sen(x²) · cos(x²) · 2x = (2x · cos(x²))/sen(x²)
Lembrando que cos(x)/sen(x) = cotg(x), ou equivalentemente, 1/tg(x), temos:
f'(x) = 2x · cotg(x²) = 2x/tg(x²)
A derivada da função é f'(x) = 2x/tg(x²) ou, equivalentemente, f'(x) = 2x·cotg(x²), correspondendo às alternativas A e B, respectivamente. Ambas as formas são matematicamente equivalentes.
Questão 9
Resposta: A
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta de acordo com a função de posição s(t) = t³ - 6t² + 9t, onde s é medido em metros e t em segundos. Qual é a velocidade da partícula no instante t = 2 segundos?
A velocidade de uma partícula é dada pela derivada da função de posição em relação ao tempo:
v(t) = s′(t) = d/dt[t³ - 6t² + 9t]
Derivando termo a termo:
d/dt[t³] = 3t²
d/dt[-6t²] = -6 · 2t = -12t
d/dt[9t] = 9
Combinando os termos:
v(t) = 3t² - 12t + 9
Avaliando em t = 2 segundos:
v(2) = 3(2)² - 12(2) + 9 = 3 · 4 - 12 · 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 m/s
O sinal negativo indica que a partícula está se movendo na direção negativa do eixo.
A velocidade da partícula no instante t = 2 segundos é -3 m/s, correspondendo à alternativa A.
Questão 10
Resposta: A
Uma caixa com base quadrada aberta no topo deve ter um volume de 32 m³. Encontre as dimensões (lado da base e altura) que minimizam a quantidade de material utilizado na construção da caixa.
Vamos chamar o lado da base quadrada de x e a altura de h.
O volume da caixa é:
V = x² · h = 32 m³
Isolando h em função de x:
h = 32/x²
Como a caixa é aberta no topo, a quantidade de material (área total) é:
A = x² + 4xh (base + 4 lados verticais)
Substituindo h = 32/x²:
A = x² + 4x · (32/x²) = x² + 128/x
Para encontrar o valor de x que minimiza a área, calculamos a derivada e igualamos a zero:
dA/dx = 2x - 128/x² = 0
Multiplicando por x²:
2x³ - 128 = 0
2x³ = 128
x³ = 64
x = 4
Para confirmar que este é um mínimo, verificamos que a segunda derivada é positiva:
d²A/dx² = 2 + 256/x³ > 0 para todo x > 0
Calculamos h usando x = 4:
h = 32/x² = 32/16 = 2
As dimensões que minimizam a quantidade de material são: lado da base = 4 m e altura = 2 m, correspondendo à alternativa A: 4 m × 4 m × 2 m.
Questão 11
Resposta: E
O raio de um círculo está aumentando a uma taxa de 2 cm/s. A que taxa a área do círculo está aumentando quando o raio é igual a 5 cm?
A área de um círculo é dada por:
A = πr²
Queremos encontrar dA/dt quando r = 5 cm e dr/dt = 2 cm/s.
Usando a regra da cadeia:
dA/dt = (dA/dr) · (dr/dt)
Calculamos dA/dr:
dA/dr = d(πr²)/dr = 2πr
Substituindo os valores:
dA/dt = 2πr · (dr/dt) = 2π · 5 · 2 = 20π cm²/s
A área do círculo está aumentando a uma taxa de 20π cm²/s, correspondendo à alternativa E.
Questão 12
Resposta: A
Encontre os valores críticos da função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.
Os valores críticos de uma função são os valores de x onde a derivada é zero ou não existe.
Calculamos a derivada:
f′(x) = d/dx[x³ - 6x² + 9x + 1] = 3x² - 12x + 9
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
3x² - 12x + 9 = 0
Dividindo por 3:
x² - 4x + 3 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = (4 ± √(16 - 12))/2 = (4 ± √4)/2 = (4 ± 2)/2
Portanto, x = (4 + 2)/2 = 3 ou x = (4 - 2)/2 = 1
Os valores críticos são x = 1 e x = 3, correspondendo à alternativa A.
Questão 13
Resposta: A
Calcule a integral indefinida: ∫(3x² - 4x + 2) dx
Aplicamos a regra de integração termo a termo:
∫(3x² - 4x + 2) dx = ∫3x² dx - ∫4x dx + ∫2 dx
Para o primeiro termo:
∫3x² dx = 3 · ∫x² dx = 3 · (x³/3) = x³
Para o segundo termo:
∫4x dx = 4 · ∫x dx = 4 · (x²/2) = 2x²
Para o terceiro termo:
∫2 dx = 2x
Combinando todos os termos e adicionando a constante de integração:
∫(3x² - 4x + 2) dx = x³ - 2x² + 2x + C
A integral indefinida é x³ - 2x² + 2x + C, correspondendo à alternativa A.
Questão 14
Resposta: C
Determine a integral indefinida: ∫cos(3x) dx
Para integrar cos(ax), usamos a fórmula:
∫cos(ax) dx = (1/a) · sen(ax) + C
No nosso caso, a = 3:
∫cos(3x) dx = (1/3) · sen(3x) + C
A integral indefinida é (1/3)·sen(3x) + C, correspondendo à alternativa C.
Questão 15
Resposta: D
Calcule a integral usando substituição: ∫x·(x² + 1)⁴ dx
Vamos usar a substituição u = x² + 1.
Diferenciando u em relação a x:
du/dx = 2x ⟹ du = 2x dx ⟹ x dx = du/2
Substituindo na integral:
∫x·(x² + 1)⁴ dx = ∫(x² + 1)⁴·x dx = ∫u⁴·(du/2) = (1/2)∫u⁴ du
Integrando:
(1/2)∫u⁴ du = (1/2)·(u⁵/5) = u⁵/10
Substituindo u = x² + 1:
u⁵/10 = (x² + 1)⁵/10 + C
A integral é (x² + 1)⁵/10 + C, correspondendo à alternativa D.
Questão 16
Resposta: C
Calcule a integral definida: ∫₀¹ (3x² - 2) dx
Primeiro, calculamos a antiderivada:
∫(3x² - 2) dx = 3 · (x³/3) - 2x + C = x³ - 2x + C
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
∫₀¹ (3x² - 2) dx = [x³ - 2x]₀¹
Calculando:
[x³ - 2x]₀¹ = (1³ - 2 · 1) - (0³ - 2 · 0) = (1 - 2) - 0 = -1
O valor da integral definida é -1, correspondendo à alternativa C.
Questão 17
Resposta: A
Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar: d/dx ∫₁ˣ t²·sen(t) dt
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de uma integral definida com limite superior variável x é igual ao integrando avaliado em x:
Se F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, então F'(x) = f(x)
No nosso caso:
F(x) = ∫₁ˣ t² · sen(t) dt
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
F'(x) = x² · sen(x)
A derivada da integral é x²·sen(x), correspondendo à alternativa A.
Questão 18
Resposta: A
Calcule a área entre as curvas y = x² e y = x no intervalo [0, 1].
Para calcular a área entre duas curvas, precisamos determinar qual curva está acima da outra no intervalo dado.
No intervalo [0, 1], precisamos comparar y = x e y = x²:
  • Para x = 0: x = 0 e x² = 0, as curvas se interceptam.
  • Para 0 < x < 1: x> x² (pois x < 1 implica que x² < x).
  • Para x = 1: x = 1 e x² = 1, as curvas se interceptam novamente.
Portanto, no intervalo [0, 1], a curva y = x está acima da curva y = x².
A área entre as curvas é dada por:
A = ∫₀¹ [(curva superior) - (curva inferior)] dx = ∫₀¹ [x - x²] dx
Calculando a integral:
A = ∫₀¹ [x - x²] dx = [x²/2 - x³/3]₀¹
Avaliando os limites:
A = (1²/2 - 1³/3) - (0²/2 - 0³/3) = (1/2 - 1/3) - 0 = 1/2 - 1/3 = 3/6 - 2/6 = 1/6
A área entre as curvas é 1/6, correspondendo à alternativa A.
Questão 19
Resposta: A
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando a região limitada pelas curvas y = √x, y = 0 e x = 4 em torno do eixo x.
Quando giramos uma região em torno do eixo x, o volume do sólido de revolução é dado por:
V = π·∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Onde f(x) é a curva que define a região e [a, b] é o intervalo no eixo x.
Em nosso caso, f(x) = √x, a = 0 e b = 4.
O volume é:
V = π·∫₀⁴ (√x)² dx = π·∫₀⁴ x dx = π·[x²/2]₀⁴
Avaliando os limites:
V = π·(4²/2 - 0²/2) = π·(16/2 - 0) = π·8 = 8π
O volume do sólido de revolução é 8π, correspondendo à alternativa A.
Questão 20
Resposta: A
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com função de velocidade v(t) = t² - 4t + 3 para t ≥ 0. Se a posição inicial s(0) = 1, qual é a posição da partícula no instante t = 3?
A posição de uma partícula pode ser obtida integrando a função de velocidade:
s(t) = s(0) + ∫0t v(τ) dτ
Dado que s(0) = 1 e v(t) = t² - 4t + 3, temos:
s(t) = 1 + ∫0t (τ² - 4τ + 3) dτ
Calculando a integral:
s(t) = 1 + [τ³/3 - 4τ²/2 + 3τ]0t
Simplificando:
s(t) = 1 + [τ³/3 - 2τ² + 3τ]0t
Avaliando os limites:
s(t) = 1 + [(t³/3 - 2t² + 3t) - (0³/3 - 2·0² + 3·0)]
Simplificando:
s(t) = 1 + t³/3 - 2t² + 3t
Avaliando em t = 3:
s(3) = 1 + 3³/3 - 2·3² + 3·3 = 1 + 27/3 - 2·9 + 9 = 1 + 9 - 18 + 9 = 1
A posição da partícula no instante t = 3 é s(3) = 1, correspondendo à alternativa A.
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Gabarito elaborado para auxílio no estudo de Cálculo Diferencial e Integral