🧩 Aventura das Derivadas Parciais 🧩

Estamos diante de uma função composta: o seno aplicado à fração x/y

Para facilitar, vamos chamar u = x/y (nossa função interna)

Assim, f(x,y) = sen(u) onde u = x/y

A regra da cadeia nos diz: quando derivamos uma função composta, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Matematicamente: ∂f/∂x = (derivada do seno) × (derivada de x/y em relação a x)

Ou seja: ∂f/∂x = d/du[sen(u)] × ∂u/∂x

A derivada do seno é o cosseno: d/du[sen(u)] = cos(u)

Agora, precisamos calcular ∂u/∂x, ou seja, a derivada de x/y em relação a x (mantendo y constante)

∂/∂x(x/y) = (1)/y = 1/y

∂f/∂x = cos(u) × (1/y)

Substituindo u = x/y:

∂f/∂x = cos(x/y) × (1/y) = cos(x/y)/y

Ainda temos a função composta f(x,y) = sen(u) com u = x/y

∂f/∂y = d/du[sen(u)] × ∂u/∂y

A derivada do seno continua sendo: d/du[sen(u)] = cos(u)

Agora, precisamos calcular ∂u/∂y, a derivada de x/y em relação a y (mantendo x constante)

Podemos usar a regra do quociente. Ou, mais facilmente, podemos reescrever x/y como x·y⁻¹

∂/∂y(x·y⁻¹) = x · ∂/∂y(y⁻¹) = x · (-1·y⁻²) = -x/y²

∂f/∂y = cos(u) × (-x/y²)

Substituindo u = x/y:

∂f/∂y = cos(x/y) × (-x/y²) = -x·cos(x/y)/y²

1. Aplicamos a regra do quociente:

∂u/∂x = [(denominador × derivada do numerador) - (numerador × derivada do denominador)] / (denominador)²

2. Identificamos as partes:

• Numerador: (x²+y)
• Denominador: (x-y)
• Derivada do numerador: ∂/∂x(x²+y) = 2x
• Derivada do denominador: ∂/∂x(x-y) = 1

3. Substituímos na fórmula:

∂u/∂x = [(x-y)·(2x) - (x²+y)·(1)]/[(x-y)²]

4. Desenvolvemos a expressão:

∂u/∂x = [2x²-2xy - x²-y]/[(x-y)²]

∂u/∂x = [x²-2xy-y]/[(x-y)²]

5. Forma alternativa (equivalente):

∂u/∂x = [2x(x-y)-(x²+y)]/[(x-y)²]

1. Aplicamos a regra do quociente:

∂u/∂y = [(denominador × derivada do numerador) - (numerador × derivada do denominador)] / (denominador)²

2. Identificamos as partes:

• Numerador: (x²+y)
• Denominador: (x-y)
• Derivada do numerador: ∂/∂y(x²+y) = 1
• Derivada do denominador: ∂/∂y(x-y) = -1

3. Substituímos na fórmula:

∂u/∂y = [(x-y)·(1) - (x²+y)·(-1)]/[(x-y)²]

4. Desenvolvemos a expressão:

∂u/∂y = [x-y + x²+y]/[(x-y)²]

∂u/∂y = [x²+x]/[(x-y)²]

5. Forma alternativa (equivalente):

∂u/∂y = [(x-y)+(x²+y)]/[(x-y)²]

Como f(x,y) = cos(u) onde u = (x²+y)/(x-y), aplicamos:

∂f/∂x = d/du[cos(u)] × ∂u/∂x

A derivada do cosseno é -seno: d/du[cos(u)] = -sen(u)

∂u/∂x já calculamos acima: ∂u/∂x = [x²-2xy-y]/[(x-y)²]

∂f/∂x = -sen(u) × ∂u/∂x

Substituindo u e ∂u/∂x:

∂f/∂x = -sen((x²+y)/(x-y)) × [x²-2xy-y]/[(x-y)²]

Ou, usando a forma alternativa:

∂f/∂x = -[2x(x-y)-(x²+y)]·sen((x²+y)/(x-y))/[(x-y)²]

∂f/∂y = d/du[cos(u)] × ∂u/∂y

d/du[cos(u)] = -sen(u)

∂u/∂y = [x²+x]/[(x-y)²]

∂f/∂y = -sen(u) × ∂u/∂y

Substituindo u e ∂u/∂y:

∂f/∂y = -sen((x²+y)/(x-y)) × [x²+x]/[(x-y)²]

Ou, usando a forma alternativa:

∂f/∂y = -[(x-y)+(x²+y)]·sen((x²+y)/(x-y))/[(x-y)²]

Seja u = xy/(x²+y²). Para aplicar a regra da cadeia, precisamos calcular ∂u/∂x e ∂u/∂y.

Aplicamos a regra do quociente:

∂u/∂x = [(x²+y²)·∂/∂x(xy) - (xy)·∂/∂x(x²+y²)]/[(x²+y²)²]

Calculamos cada parte:

• ∂/∂x(xy) = y
• ∂/∂x(x²+y²) = 2x

Substituímos:

∂u/∂x = [(x²+y²)·(y) - (xy)·(2x)]/[(x²+y²)²]

∂u/∂x = [x²y+y³ - 2x²y]/[(x²+y²)²]

∂u/∂x = [y³-x²y]/[(x²+y²)²]

∂u/∂x = [y(y²-x²)]/[(x²+y²)²]

Aplicamos a regra do quociente:

∂u/∂y = [(x²+y²)·∂/∂y(xy) - (xy)·∂/∂y(x²+y²)]/[(x²+y²)²]

Calculamos cada parte:

• ∂/∂y(xy) = x
• ∂/∂y(x²+y²) = 2y

Substituímos:

∂u/∂y = [(x²+y²)·(x) - (xy)·(2y)]/[(x²+y²)²]

∂u/∂y = [x³+xy² - 2xy²]/[(x²+y²)²]

∂u/∂y = [x³-xy²]/[(x²+y²)²]

∂u/∂y = [x(x²-y²)]/[(x²+y²)²]

A derivada da tangente é sec²(u): d/du[tg(u)] = sec²(u)

Para ∂f/∂x:

∂f/∂x = sec²(xy/(x²+y²)) × [y(y²-x²)]/[(x²+y²)²]

Para ∂f/∂y:

∂f/∂y = sec²(xy/(x²+y²)) × [x(x²-y²)]/[(x²+y²)²]

Um ponto crítico ocorre quando ambas as derivadas parciais são zero:

∂f/∂x = 0 e ∂f/∂y = 0

Para ∂f/∂x = 0:

sec²(xy/(x²+y²)) × [y(y²-x²)]/[(x²+y²)²] = 0

Como sec²(u) nunca é zero para valores reais de u, precisamos que:

[y(y²-x²)]/[(x²+y²)²] = 0

Isso acontece quando:

• y = 0, ou
• y² = x², ou seja, y = ±x

Para ∂f/∂y = 0:

sec²(xy/(x²+y²)) × [x(x²-y²)]/[(x²+y²)²] = 0

Isso acontece quando:

• x = 0, ou
• x² = y², ou seja, x = ±y

Combinando as condições para ∂f/∂x = 0 e ∂f/∂y = 0, temos:

Caso 1: x = 0 e y = 0 (a origem)

Na origem (0,0), a função não está definida, pois teríamos tg(0/0). Portanto, (0,0) não é um ponto crítico.

Caso 2: x = y ≠ 0

Se x = y ≠ 0, então xy/(x²+y²) = x²/(2x²) = 1/2.

Estes são pontos críticos válidos, pois ambas as derivadas se anulam.

Caso 3: x = -y ≠ 0

Se x = -y ≠ 0, então xy/(x²+y²) = -x²/(2x²) = -1/2.

Estes também são pontos críticos válidos.

Caso 4: x = 0, y ≠ 0 ou x ≠ 0, y = 0

Se apenas uma das variáveis for zero, apenas uma das derivadas parciais se anula, não ambas. Logo, não são pontos críticos.

Os pontos críticos da função f(x,y) = tg(xy/(x²+y²)) são todos os pontos (x,y) onde:

• x = y ≠ 0 (pontos na linha y = x, exceto a origem)
• x = -y ≠ 0 (pontos na linha y = -x, exceto a origem)

Estes pontos formam duas linhas retas que se cruzam na origem, mas excluindo a própria origem, pois a função não está definida lá.

Estamos trabalhando com uma função trigonométrica simples:

f(x,y) = cos(xy)

Esta função representa um padrão de ondas que se alterna entre valores máximos (1) e mínimos (-1).

Aplicamos a regra da cadeia para calcular ∂f/∂x:

∂f/∂x = ∂/∂x[cos(xy)]

= -sen(xy) · ∂/∂x[xy]

= -sen(xy) · y

∂f/∂x = -y·sen(xy)

De forma similar, calculamos ∂f/∂y:

∂f/∂y = ∂/∂y[cos(xy)]

= -sen(xy) · ∂/∂y[xy]

= -sen(xy) · x

∂f/∂y = -x·sen(xy)

Para encontrar pontos críticos, igualamos ∂f/∂x = 0 e ∂f/∂y = 0:

Da equação ∂f/∂x = 0:

-y·sen(xy) = 0

Isso ocorre quando:

• y = 0, ou
• sen(xy) = 0

sen(xy) = 0 quando xy = nπ, onde n é um inteiro (0, ±1, ±2, ...).

Da equação ∂f/∂y = 0:

-x·sen(xy) = 0

Isso ocorre quando:

• x = 0, ou
• sen(xy) = 0

Combinando as condições de ambas as equações:

Caso 1: Se y = 0, a primeira equação é satisfeita. Para a segunda equação ser satisfeita também, ou x = 0 ou sen(xy) = 0. Como y = 0, temos xy = 0, então sen(xy) = 0. Portanto, qualquer ponto (x,0) onde x > 0 é um ponto crítico.

Caso 2: Se x = 0, a segunda equação é satisfeita. Para a primeira equação ser satisfeita também, ou y = 0 ou sen(xy) = 0. Como x = 0, temos xy = 0, então sen(xy) = 0. Portanto, qualquer ponto (0,y) onde y > 0 é um ponto crítico.

Caso 3: Se sen(xy) = 0, então xy = nπ onde n é um inteiro. Isso ocorre quando xy = 0, π, 2π, 3π, etc. Então temos pontos críticos quando:

• xy = 0 (já coberto nos casos 1 e 2)
• xy = π, o que significa y = π/x
• xy = 2π, o que significa y = 2π/x
• xy = 3π, o que significa y = 3π/x
• E assim por diante para qualquer n > 0

Para determinar quais desses pontos críticos maximizam a função, analisamos o valor da função em cada caso:

f(x,y) = cos(xy)

Sabemos que o cosseno atinge seu valor máximo de 1 quando seu argumento é 0, 2π, 4π, etc.

Considerando os pontos críticos encontrados:

Para pontos onde xy = 0:

f(x,0) = cos(0) = 1 para qualquer x > 0

f(0,y) = cos(0) = 1 para qualquer y > 0

Para pontos onde xy = π:

f(x,π/x) = cos(π) = -1

Para pontos onde xy = 2π:

f(x,2π/x) = cos(2π) = 1

Portanto, a função f(x,y) = cos(xy) atinge seu valor máximo de 1 quando:

• xy = 0: qualquer ponto (x,0) ou (0,y) onde x,y > 0
• xy = 2π: pontos da forma (x,2π/x) onde x > 0
• xy = 4π: pontos da forma (x,4π/x) onde x > 0
• E assim por diante para xy = 2nπ, onde n é um inteiro positivo

A eficiência máxima da antena (valor 1) ocorre em infinitos pontos: em qualquer ponto do eixo x ou y, e ao longo das curvas definidas por xy = 2nπ, onde n é um inteiro positivo.