Laboratório de Aplicações - Modelagem Matemática

Laboratório de Aplicações

Modelagem de situações-problema com aplicações matemáticas

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Modelagem Matemática

A modelagem matemática é o processo de traduzir situações-problema do mundo real para a linguagem matemática, permitindo análise, compreensão e resolução. Este processo envolve identificar variáveis, estabelecer relações entre elas e criar equações ou fórmulas que representem adequadamente o problema.

Etapas da Modelagem Matemática

  1. Compreensão do problema: Entender claramente a situação-problema.
  2. Identificação das variáveis: Determinar quais grandezas são relevantes.
  3. Estabelecimento de relações: Criar conexões matemáticas entre as variáveis.
  4. Criação do modelo: Expressar as relações por meio de equações ou fórmulas.
  5. Resolução matemática: Manipular o modelo para encontrar a solução.
  6. Interpretação dos resultados: Traduzir a solução matemática para o contexto original.
  7. Validação: Verificar se o modelo representa adequadamente a situação real.

Exemplo 1: Crescimento Populacional

Uma cidade tem população inicial de 50.000 habitantes e cresce a uma taxa de 3% ao ano.

Modelo matemático:

P(t) = P₀ × (1 + r)ᵗ = 50.000 × (1 + 0,03)ᵗ

Onde:

  • P(t) = população após t anos
  • P₀ = população inicial (50.000)
  • r = taxa de crescimento (0,03)
  • t = tempo em anos

Para calcular a população após 10 anos:

P(10) = 50.000 × (1 + 0,03)¹⁰ ≈ 67.196 habitantes

Exemplo 2: Queda Livre

Um objeto é solto de uma altura de 100 metros.

Modelo matemático:

h(t) = h₀ - (1/2) × g × t² = 100 - 4,9t²

Onde:

  • h(t) = altura em metros após t segundos
  • h₀ = altura inicial (100 metros)
  • g = aceleração da gravidade (9,8 m/s²)
  • t = tempo em segundos

Para calcular quando o objeto atinge o solo (h = 0):

0 = 100 - 4,9t²
4,9t² = 100
t² = 20,41
t ≈ 4,52 segundos

Laboratório de Modelagem

Neste laboratório, você poderá praticar a modelagem matemática aplicada a diferentes contextos.

Crescimento
Movimento
Financeiro

Modelagem de Crescimento

Calcule o crescimento de uma população ao longo do tempo.

Resultado:

Modelagem de Movimento

Calcule a trajetória de um objeto em queda livre.

Resultado:

Modelagem Financeira

Calcule o crescimento de um investimento com juros compostos.

Resultado:

Quiz de Modelagem Matemática

Teste seus conhecimentos sobre modelagem matemática e aplicações.

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Base Nacional Comum Curricular (BNCC)

Este laboratório de aplicações está alinhado às seguintes competências e habilidades da BNCC:

EM13MAT301 Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT302 Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT304 Resolver e elaborar problemas com funções exponenciais nos quais seja necessário compreender e interpretar a variação das grandezas envolvidas, em contextos como o da Matemática Financeira, entre outros.

EM13MAT307 Empregar diferentes métodos para a obtenção da medida da área de uma superfície (reconfigurações, aproximação por cortes etc.) e deduzir expressões de cálculo para aplicá-las em situações reais (como o remanejamento e a distribuição de plantações, entre outros), com ou sem apoio de tecnologias digitais.

EM13MAT311 Identificar e descrever o comportamento do gráfico de funções polinomiais de 1º e 2º graus, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, reconhecendo suas propriedades e utilizando-os para interpretar situações em contextos diversos.

EM13MAT315 Investigar e registrar, por meio de um fluxograma, quando possível, um algoritmo que resolve um problema.