Prova Final de Cálculo Diferencial e Integral 1

Calcule o valor do limite:

lim_x→2 (x³ - 8)/(x - 2)

Determine o valor do limite:

lim_x→0 (sen 3x)/(5x)

Avalie a continuidade da função f(x) = (x² - 4)/(x - 2) no ponto x = 2. Qual afirmação é verdadeira?

Determine o valor de k para o qual a função definida por partes abaixo seja contínua em x = 3:

f(x) = x² - 1 se x < 3
f(x) = kx + 2 se x ≥ 3

Calcule a derivada da função f(x) = 3x⁴ - 5x² + 7x - 2.

Calcule a derivada da função g(x) = (2x + 3)⁵.

Determine a derivada da função h(x) = (x² + 1)/(x - 2).

Usando a regra da cadeia, calcule a derivada de f(x) = ln(sen(x²)).

Nota: Para esta questão, tanto a alternativa A quanto a B são matematicamente equivalentes e ambas são consideradas corretas. Note que 2x/tg(x²) = 2x·cotg(x²).

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta de acordo com a função de posição s(t) = t³ - 6t² + 9t, onde s é medido em metros e t em segundos. Qual é a velocidade da partícula no instante t = 2 segundos?

Uma caixa com base quadrada aberta no topo deve ter um volume de 32 m³. Encontre as dimensões (lado da base e altura) que minimizam a quantidade de material utilizado na construção da caixa.

O raio de um círculo está aumentando a uma taxa de 2 cm/s. A que taxa a área do círculo está aumentando quando o raio é igual a 5 cm?

Dica: Em problemas de taxas relacionadas, use a derivada em relação ao tempo. Se A = πr², então dA/dt = dA/dr · dr/dt. Substitua os valores conhecidos de r e dr/dt para encontrar dA/dt.

Encontre os valores críticos da função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1.

Calcule a integral indefinida:

∫(3x² - 4x + 2) dx

Determine a integral indefinida:

∫cos(3x) dx

Calcule a integral usando substituição:

∫x·(x² + 1)⁴ dx

Calcule a integral definida:

∫₀¹ (3x² - 2) dx

Use o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar:

d/dx ∫₁ˣ t²·sen(t) dt

Calcule a área entre as curvas y = x² e y = x no intervalo [0, 1].

Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando a região limitada pelas curvas y = √x, y = 0 e x = 4 em torno do eixo x.

Dica: Para calcular o volume de um sólido de revolução em torno do eixo x, use a fórmula V = π·∫[a,b] [f(x)]² dx, onde f(x) é a função que gera a curva e [a,b] é o intervalo.

Uma partícula se move ao longo de uma linha reta com função de velocidade v(t) = t² - 4t + 3 para t ≥ 0. Se a posição inicial s(0) = 1, qual é a posição da partícula no instante t = 3?