Prova de Cálculo de Várias Variáveis

A função f(x,y) = x² + y² - 4x - 6y + 13 representa:

Considere o mapa topográfico de uma montanha, onde as curvas de nível representam altitudes constantes (mesmo valor da função altura). Em cada curva, a altitude aumenta 100 metros em relação à curva anterior. Na figura abaixo, identificamos quatro pontos diferentes:

Para um montanhista que deseja subir esta montanha, em qual dos pontos marcados a inclinação do terreno é mais íngreme?

O domínio da função f(x,y) = ln(1 - x² - y²) é:

Calcule o valor de lim_{(x,y)→(0,0)} (x²y)/(x² + y²) se ele existir.

A função f(x,y) = xy/(x + y) se (x,y) ≠ (0,0) e f(0,0) = 0 é:

Calcule as derivadas parciais da função f(x,y) = x·e^xy.

Para a função f(x,y) = x³y² - 2xy + 5, calcule o valor de f_xy(2,1).

Dada a função z = f(x,y) definida implicitamente pela equação x² + y² + z² = 16, determine ∂z/∂x no ponto (2,2,3).

Determine o gradiente da função f(x,y) = 3x²y - 2y³ no ponto (1,2).

Calcule a derivada direcional da função f(x,y) = x²y + xy² no ponto (2,1) na direção do vetor v = (3,4).

Classifique o ponto crítico (1,2) da função f(x,y) = x³ + y² - 3x²y + 6xy.

Encontre os pontos críticos da função f(x,y) = x² + 4xy + 2y² - 6x - 16y + 10.

Um fabricante produz dois tipos de produtos, A e B. O lucro (em milhares de reais) é dado pela função L(x,y) = 4x + 6y - x² - 2y² - xy, onde x e y representam as quantidades produzidas (em centenas) dos produtos A e B, respectivamente. Determine a quantidade de cada produto que maximiza o lucro.

Use o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar os valores máximo e mínimo da função f(x,y) = x² + y² sujeita à restrição x + y = 2.

Uma empresa fabricante de caixas retangulares deseja criar um recipiente com base quadrada (x × x) e altura y com volume de 64 cm³. Quais são as dimensões que minimizam a quantidade de material utilizado?

Qual é o domínio da função f(x,y) = sen(xy)/√(4 - x² - y²)?

Calcule o valor de lim_{(x,y)→(0,0)} (x·sen(y) + y·sen(x))/(x² + y²) se ele existir.

Determine as derivadas parciais da função f(x,y) = cos(x²y) + ln(x + y²).

Classifique os pontos críticos da função f(x,y) = sen(x) + sen(y) + sen(x+y).

Um projetista precisa desenvolver uma caixa retangular aberta (sem tampa) com volume fixo de 32 unidades cúbicas. A base da caixa tem comprimento x e largura y, e sua altura é z. O custo de fabricação por unidade de área é dado por c(x,y,z) = 2 + sen(xyz). Quais as dimensões que minimizam o custo total de fabricação?