Prova Final de Cálculo Diferencial e Integral 1

Passo 1: Observe que substituindo x = 2 diretamente, temos a indeterminação 0/0.

Passo 2: Fatoramos o numerador utilizando a diferença de cubos: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4)

Passo 3: Substituímos esta fatoração na expressão original:

lim_x→2 (x³ - 8)/(x - 2) = lim_x→2 [(x - 2)(x² + 2x + 4)]/(x - 2)

Passo 4: Simplificamos os termos comuns:

lim_x→2 [(x - 2)(x² + 2x + 4)]/(x - 2) = lim_x→2 (x² + 2x + 4)

Passo 5: Calculamos o limite substituindo x = 2:

lim_x→2 (x² + 2x + 4) = 2² + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12

Passo 1: Substituindo x = 0 diretamente, temos a indeterminação 0/0.

Passo 2: Utilizamos o limite fundamental: lim_x→0 (sen(x)/x) = 1

Passo 3: Reescrevemos o limite usando manipulação algébrica:

lim_x→0 (sen(3x))/(2x) = lim_x→0 [(sen(3x))/(3x) · (3x)/(2x)]

= lim_x→0 [(sen(3x))/(3x) · (3/2)]

Passo 4: Fazemos a substituição u = 3x. Quando x → 0, temos u → 0:

lim_x→0 [(sen(3x))/(3x) · (3/2)] = lim_u→0 [(sen(u))/(u) · (3/2)]

Passo 5: Utilizamos o limite fundamental e calculamos:

lim_u→0 [(sen(u))/(u) · (3/2)] = 1 · (3/2) = 3/2

Passo 1: Para calcular este limite, dividimos o numerador e o denominador pelo maior grau que aparece, que é x².

Passo 2: Efetuamos a divisão:

lim_x→∞ (3x² + 5x)/(x² + 2x - 1) = lim_x→∞ [(3x²/x²) + (5x/x²)]/[(x²/x²) + (2x/x²) - (1/x²)]

= lim_x→∞ [3 + (5/x)]/[1 + (2/x) - (1/x²)]

Passo 3: Quando x → ∞, os termos com x no denominador tendem a zero:

lim_x→∞ [3 + (5/x)]/[1 + (2/x) - (1/x²)] = 3/1 = 3

Passo 1: Para que a função seja contínua em x = 1 (ponto de transição), os limites laterais devem ser iguais:

lim_x→1⁻ f(x) = lim_x→1⁺ f(x)

Passo 2: Calculamos os limites laterais:

lim_x→1⁻ f(x) = f(1) = a(1)² + b(1) + 3 = a + b + 3

lim_x→1⁺ f(x) = 2(1) + 5 = 7

Passo 3: Igualamos os limites laterais para garantir continuidade:

a + b + 3 = 7

a + b = 4

Passo 4: Verificando as alternativas:

• Alternativa a) a = 2, b = 0: 2 + 0 = 2 ≠ 4 ✗

• Alternativa b) a = 0, b = 3: 0 + 3 = 3 ≠ 4 ✗

• Alternativa c) a = 2, b = 3: 2 + 3 = 5 ≠ 4 ✗

• Alternativa d) a = 3, b = 1: 3 + 1 = 4 ✓

• Alternativa e) a = 4, b = -2: 4 + (-2) = 2 ≠ 4 ✗

Passo 1: Aplicamos a regra da soma para derivar a expressão termo a termo:

f'(x) = (3x⁴)' - (2x³/²)' + (5cos(x))'

Passo 2: Derivamos cada termo:

• (3x⁴)' = 3 · 4 · x³ = 12x³

• (2x³/²)' = 2 · (3/2) · x³/²⁻¹ = 2 · (3/2) · x½ = 3x½ = 3√x

• (5cos(x))' = 5 · (-sen(x)) = -5sen(x)

Passo 3: Juntamos todos os termos:

f'(x) = 12x³ - 3x½ - 5sen(x)

Passo 1: Aplicamos a regra do produto para calcular a derivada:

f'(x) = (e^x²)' · ln(x) + e^x² · (ln(x))'

Passo 2: Calculamos (e^x²)':

Usando a regra da cadeia: (e^x²)' = e^x² · (x²)' = e^x² · 2x

Passo 3: Calculamos (ln(x))':

(ln(x))' = 1/x

Passo 4: Substituímos no passo 1:

f'(x) = e^x² · 2x · ln(x) + e^x² · (1/x)

= e^x² · [2x · ln(x) + 1/x]

= e^x² · [1/x + 2x · ln(x)]

Passo 1: Aplicamos a regra do produto: (u·v)' = u'·v + u·v'

Aqui, u = x² e v = sen(x)

Passo 2: Calculamos as derivadas de u e v:

u' = (x²)' = 2x

v' = (sen(x))' = cos(x)

Passo 3: Substituímos na regra do produto:

f'(x) = 2x · sen(x) + x² · cos(x)

Passo 1: Calculamos a derivada de f(x) = cos(2x):

f'(x) = (cos(2x))' = -sen(2x) · (2x)' = -sen(2x) · 2 = -2sen(2x)

Passo 2: Calculamos f'(π/6):

f'(π/6) = -2sen(2·π/6) = -2sen(π/3)

Passo 3: Sabemos que sen(π/3) = √3/2:

f'(π/6) = -2 · (√3/2) = -√3

Passo 1: A altura máxima ocorre quando a velocidade é zero, ou seja, quando h'(t) = 0.

Passo 2: Calculamos a derivada de h(t):

h'(t) = 30 - 10t

Passo 3: Igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:

30 - 10t = 0

10t = 30

t = 30/10 = 3 segundos

Passo 4: Verificamos que é um máximo calculando a segunda derivada:

h''(t) = -10 < 0, o que confirma que é um máximo.

Passo 1: O volume da lata cilíndrica é dado por V = πr²h = 125π.

Portanto: h = 125π/(πr²) = 125/r²

Passo 2: A área total (quantidade de material) é dada por:

A = 2πr² + 2πrh (área das duas bases circulares + área lateral)

Substituindo h: A = 2πr² + 2πr(125/r²) = 2πr² + 250π/r

Passo 3: Para minimizar A, calculamos dA/dr e igualamos a zero:

dA/dr = 4πr - 250π/r² = 0

4πr = 250π/r²

4πr³ = 250π

r³ = 62,5

r = ∛62,5 = 5 cm

Passo 4: Calculamos h:

h = 125/r² = 125/25 = 5 cm

Passo 1: A posição vertical da bola é dada por y(t) = 45 - 5t².

A posição horizontal da bola é dada por x(t) = 8t.

Passo 2: A bola atinge o solo quando y(t) = 0:

45 - 5t² = 0

5t² = 45

t² = 9

t = 3 segundos

Passo 3: Calculamos a distância horizontal usando x(t) = 8t:

x(3) = 8 · 3 = 24 metros

Passo 1: Uma função é decrescente quando sua derivada é negativa, ou seja, quando f'(x) < 0.

Passo 2: Calculamos a derivada de f(x):

f'(x) = 3x² - 12x + 9

Passo 3: Resolvemos a inequação f'(x) < 0:

3x² - 12x + 9 < 0

x² - 4x + 3 < 0

Passo 4: Fatoramos o trinômio:

x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)

Passo 5: Analisamos o sinal do produto:

(x - 1)(x - 3) < 0

O produto é negativo quando os fatores têm sinais opostos:

• x - 1 > 0 e x - 3 < 0, ou seja, x> 1 e x < 3

• 1 < x < 3

Passo 1: Aplicamos a propriedade da linearidade da integral:

∫(3x² - 2/x + 4e^x) dx = ∫3x² dx - ∫2/x dx + ∫4e^x dx

Passo 2: Calculamos cada integral separadamente:

• ∫3x² dx = 3∫x² dx = 3(x³/3) = x³

• ∫2/x dx = 2∫(1/x) dx = 2ln|x|

• ∫4e^x dx = 4∫e^x dx = 4e^x

Passo 3: Combinamos os resultados:

∫(3x² - 2/x + 4e^x) dx = x³ - 2ln|x| + 4e^x + C

Passo 1: Usamos a identidade trigonométrica: sen(2θ) = 2sen(θ)cos(θ)

Com θ = 3x, temos: sen(6x) = 2sen(3x)cos(3x)

Portanto: sen(3x)cos(3x) = sen(6x)/2

Passo 2: Reescrevemos a integral:

∫cos(3x)·sen(3x) dx = ∫(sen(6x)/2) dx

Passo 3: Calculamos a integral de sen(6x):

∫(sen(6x)/2) dx = (1/2)∫sen(6x) dx = (1/2)·(-cos(6x)/6) + C

= -(1/12)cos(6x) + C

Passo 4: Usamos a identidade trigonométrica: sen²(θ) = (1 - cos(2θ))/2

Com θ = 3x, temos: sen²(3x) = (1 - cos(6x))/2

Rearranjando: -cos(6x)/12 = (1/6)sen²(3x) - (1/12) + C

= (1/6)sen²(3x) + C' (onde C' = -1/12 + C)

Passo 1: Utilizamos a integração por partes com u = ln(x) e dv = x dx.

Passo 2: Calculamos du e v:

du = (1/x) dx

v = ∫x dx = x²/2

Passo 3: Aplicamos a fórmula de integração por partes: ∫u dv = uv - ∫v du

∫x·ln(x) dx = ln(x)·(x²/2) - ∫(x²/2)·(1/x) dx

= (x²/2)·ln(x) - ∫(x/2) dx

= (x²/2)·ln(x) - (x²/4) + C

Passo 1: Fazemos a substituição u = x², então du = 2x dx, ou x dx = du/2.

Passo 2: Reescrevemos a integral em termos de u:

∫₀¹ x·e^x² dx = ∫₀¹ e^x² · x dx = ∫₀¹ e^u · (du/2)

= (1/2)∫₀¹ e^u du

Passo 3: Precisamos ajustar os limites de integração:

Quando x = 0, u = 0² = 0

Quando x = 1, u = 1² = 1

Então: ∫₀¹ x·e^x² dx = (1/2)∫₀¹ e^u du

Passo 4: Calculamos a integral:

(1/2)∫₀¹ e^u du = (1/2)[e^u]₀¹

= (1/2)[e¹ - e⁰]

= (1/2)[e - 1]

= (e - 1)/2

Passo 1: Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, então F'(x) = f(x).

Passo 2: No nosso caso, f(t) = t²·cos(t) e F(x) = ∫₁ˣ t²·cos(t) dt.

Passo 3: Aplicando o teorema, temos:

d/dx ∫₁ˣ t²·cos(t) dt = x²·cos(x)

Passo 1: Primeiro, encontramos os pontos de interseção das curvas:

x² = x + 2

x² - x - 2 = 0

Usando a fórmula de Bhaskara:

x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a = (1 ± √(1 + 8))/2 = (1 ± 3)/2

x = 2 ou x = -1

Passo 2: Verificamos que no intervalo [-1, 2], a curva y = x + 2 está acima da curva y = x², então a área é dada por:

A = ∫_-1² [(x + 2) - x²] dx

Passo 3: Desenvolvemos a integral:

A = ∫_-1² [x + 2 - x²] dx

= [x²/2 + 2x - x³/3]_-1²

= [(2²/2) + 2(2) - (2³/3)] - [(-1)²/2 + 2(-1) - (-1)³/3]

= [2 + 4 - 8/3] - [1/2 - 2 - (-1/3)]

= [6 - 8/3] - [1/2 - 2 + 1/3]

= [18/3 - 8/3] - [3/6 - 12/6 + 2/6]

= [10/3] - [-7/6]

= 10/3 + 7/6

= 20/6 + 7/6

= 27/6 = 9/2

Passo 1: Para calcular o volume do sólido de revolução em torno do eixo x, usamos a fórmula:

V = π·∫_a^b [f(x)]² dx

Onde f(x) = √x, a = 0 e b = 4.

Passo 2: Substituímos na fórmula:

V = π·∫₀⁴ [√x]² dx

= π·∫₀⁴ x dx

Passo 3: Resolvemos a integral:

V = π·[x²/2]₀⁴

= π·[(4²/2) - (0²/2)]

= π·[16/2 - 0]

= π·8

= 8π

Passo 1: Para encontrar a posição, integramos a função de velocidade:

s(t) = ∫v(t) dt = ∫(3t² - 4t + 2) dt

Passo 2: Resolvemos a integral:

s(t) = 3∫t² dt - 4∫t dt + 2∫dt

= 3(t³/3) - 4(t²/2) + 2t + C

= t³ - 2t² + 2t + C

Passo 3: Determinamos a constante de integração C usando a condição inicial s(0) = 0:

s(0) = 0³ - 2(0)² + 2(0) + C = 0 + 0 + 0 + C = 0

Portanto, C = 0

A função posição é: s(t) = t³ - 2t² + 2t

Passo 4: Calculamos a posição quando t = 3:

s(3) = 3³ - 2(3)² + 2(3)

= 27 - 2(9) + 2(3)

= 27 - 18 + 6

= 15 metros