Avaliação de Cálculo Diferencial e Integral

Por que a resposta é b) 4?

Quando substituímos x = 2 diretamente, obtemos:

Encontramos uma indeterminação! Vamos resolver fatorando o numerador:

Substituindo na expressão original:

A simplificação nos mostra que, quando x se aproxima de 2, a função se aproxima de 4.

Por que a resposta é a) k = 9?

Para a função ser contínua em x = 3, precisamos resolver o problema do denominador que se anula:

Para que a função seja contínua nesse ponto, o numerador também deve ser zero quando x = 3, criando uma indeterminação removível:

Quando k = 9, podemos simplificar a função para valores de x ≠ 3:

E agora podemos calcular o limite quando x → 3:

Portanto, para k = 9, podemos definir f(3) = 6 e a função se torna contínua.

Por que a resposta é a) 2?

Para calcular a derivada dessa função racional, usamos a regra do quociente:

Calculando as derivadas das partes:

Substituindo na fórmula:

Desenvolvendo o numerador:

Agora, calculamos f'(0) substituindo x = 0:

Por que a resposta é a) Máximo em x = 1 e mínimo em x = -1?

Para encontrar os pontos de máximo e mínimo, primeiro calculamos a derivada:

Os pontos críticos ocorrem quando f'(x) = 0:

Para classificar os pontos, verificamos o comportamento da derivada:

• Quando x < -1: f'(x) < 0 (função decrescente)
• Quando -1 < x < 1: f'(x)> 0 (função crescente)
• Quando x > 1: f'(x) < 0 (função decrescente)

Em x = -1, a função muda de decrescente para crescente, indicando um mínimo local.

Em x = 1, a função muda de crescente para decrescente, indicando um máximo local.

Por que a resposta é a) ln|x² + 1| + 3·arctg(x) + C?

Para resolver essa integral, primeiro separamos a fração em termos mais simples:

Agora, integramos cada parte separadamente:

Para a primeira parte, usamos a substituição u = x² + 1, du = 2x dx:

Para a segunda parte, reconhecemos um padrão de integração conhecido:

Combinando os resultados:

Onde C = C₁ + C₂ é a constante de integração.

Por que a resposta é a) ln(2)/2?

Para resolver essa integral definida, usamos a substituição u = x² + 1:

Alterando os limites de integração:

• Quando x = 0: u = 0² + 1 = 1
• Quando x = 1: u = 1² + 1 = 2

Reescrevendo a integral em termos de u:

Calculando a integral:

Como ln(1) = 0 e ln(2) ≈ 0,693, temos ln(2)/2 ≈ 0,347.

Por que a resposta é e) Divisão polinomial seguida de integração direta?

A escolha da técnica adequada depende da estrutura da expressão. Vamos analisar:

• O grau do numerador (2) é maior que o grau do denominador (2)
• O denominador é uma potência de um termo linear

Estas características indicam que a divisão polinomial é o melhor primeiro passo. Vamos executá-la:

Agora, podemos integrar termo a termo, o que é muito mais simples:

Combinando todos os termos:

Por que a resposta é b) π/4?

Para calcular a área sob uma curva, usamos a integral definida:

Esta é uma integral fundamental que aparece frequentemente no cálculo. Sua primitiva é:

Aplicando os limites de integração:

Sabendo que arctg(1) = π/4 e arctg(0) = 0:

Por que a resposta é b) Reta tangente: y = 0·x + 1/2; Reta normal: x = 1?

A reta tangente a uma curva tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. Vamos calcular f'(1):

Substituindo x = 1:

A inclinação da reta tangente é 0, o que significa que é uma reta horizontal. Sua equação é:

A reta normal é perpendicular à tangente. Como a tangente tem inclinação 0, a normal tem inclinação infinita, ou seja, é uma reta vertical:

Portanto, a reta tangente é y = 1/2 e a reta normal é x = 1.

Por que a resposta é a) Possui assíntota vertical em x = 1 e assíntota oblíqua em y = x + 1?

Para analisar as assíntotas de uma função racional, fazemos como detetives matemáticos: procuramos pistas específicas!

1. Assíntotas verticais: Surgem quando o denominador é zero, mas o numerador não
2. Assíntotas horizontais ou oblíquas: Revelam o comportamento da função no infinito

Para assíntotas verticais, verificamos onde o denominador se anula:

Isso significa que a função "dispara" para o infinito (positivo ou negativo) quando x se aproxima de 1, como um foguete vertical!

Para descobrir se temos assíntotas horizontais ou oblíquas, fazemos uma divisão polinomial:

Quando |x| fica muito grande (tende ao infinito), o termo -3/(x-1) fica minúsculo e se aproxima de zero. Assim:

Em resumo, a função tem:

• Uma assíntota vertical em x = 1 (onde ela "explode" para o infinito)
• Uma assíntota oblíqua y = x + 1 (que ela segue de longe quando x cresce muito)