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Calcule o limite da função f(x,y) = (x² + y² - 4)/(x - 2) quando (x,y) se aproxima de (2,0).
Por que a resposta é b) 4?
Quando calculamos o limite de uma função de duas variáveis, precisamos verificar se o mesmo valor é obtido independentemente da trajetória que tomamos para nos aproximar do ponto. No caso desta função, temos uma indeterminação no ponto (2,0).
Vamos investigar o que acontece quando substituímos diretamente x = 2 e y = 0:
Isso é uma forma indeterminada! Para resolvê-la, vamos reorganizar a expressão do numerador:
Agora, reescrevendo a função:
Quando (x,y) → (2,0), o primeiro termo (x + 2) → 4, e o segundo termo y²/(x - 2) precisa ser analisado com mais cuidado.
Se nos aproximarmos pela trajetória onde x = 2 (constante) e y → 0, observamos que:
Que é uma indeterminação quando y → 0.
Entretanto, se escolhermos outra trajetória, como por exemplo, a reta y = 0, então quando x → 2:
E assim, quando x → 2, temos que f(x,0) → 4.
Para garantir que o limite existe, precisamos verificar se todas as trajetórias levam ao mesmo valor. Vamos considerar uma aproximação mais genérica, usando y = m(x - 2) onde m é uma constante:
Quando x → 2, o segundo termo → 0, então f(x,m(x-2)) → 4 para qualquer valor de m.
Como o limite é o mesmo (4) independentemente da trajetória, concluímos que:
Quais são as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y) = (3xy)/(x² + y²)?
Por que a resposta é d) fx = 3y/(x² + y²) - 6x²y/(x² + y²)² e fy = 3x/(x² + y²) - 6xy²/(x² + y²)²?
Para calcular as derivadas parciais de primeira ordem, usamos a regra do quociente. Vamos imaginar essa regra como uma receita de bolo para dividir funções:
Vamos identificar as partes da nossa função como ingredientes da receita:
Agora, calculamos as derivadas parciais de cada ingrediente:
Aplicando a regra do quociente para fx:
Observe que esta expressão já corresponde exatamente à primeira parte da alternativa d):
Isso porque podemos reescrever:
Da mesma forma, para fy:
Que corresponde à segunda parte da alternativa d):
Se simplificarmos mais estas expressões, chegaríamos a:
Mas na alternativa d), as derivadas parciais são expressas na forma não simplificada, exatamente como obtemos diretamente da aplicação da regra do quociente.
Portanto, as derivadas parciais de primeira ordem corretas são:
Qual é o gradiente da função f(x,y) = (x - y)/(x + y) no ponto (2,1)?
Por que a resposta é a) ∇f(2,1) = (2/9, -4/9)?
O gradiente de uma função f(x,y) é como uma "bússola matemática" que aponta na direção de maior crescimento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais:
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y) = (x - y)/(x + y) usando a regra do quociente. Lembrando que essa regra funciona como uma "receita":
Identificando as partes da nossa função:
Calculando as derivadas parciais de cada parte:
Aplicando a regra do quociente para fx:
E para fy:
Agora, substituindo o ponto (2,1) nessas expressões:
Portanto, o gradiente no ponto (2,1) é:
Este resultado nos diz que, no ponto (2,1), a função cresce mais rapidamente na direção do vetor (2/9, -4/9). Podemos interpretar que a função aumenta ligeiramente na direção x positiva e diminui mais significativamente na direção y positiva.
Determine a derivada direcional da função f(x,y) = x²y/(x² + y²) no ponto (1,1) na direção do vetor v = (1/√2, 1/√2).
Por que a resposta é c) √2/4?
A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário v = (a,b) é calculada pelo produto escalar do gradiente de f com o vetor v:
Primeiro, precisamos calcular o gradiente de f(x,y) = x²y/(x² + y²) no ponto (1,1).
Calculando as derivadas parciais usando a regra do quociente:
Avaliando no ponto (1,1):
Portanto, o gradiente no ponto (1,1) é ∇f(1,1) = (1/2, 0).
O vetor v = (1/√2, 1/√2) já está na forma unitária (sua magnitude é 1).
Agora, calculamos a derivada direcional:
Portanto, a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor v = (1/√2, 1/√2) é √2/4.
Identifique os pontos críticos da função f(x,y) = (x² - y²)/(x² + y²) e classifique-os.
Por que a resposta é d) (0,0) não é um ponto crítico pois a função não está definida neste ponto?
Os pontos críticos de uma função f(x,y) são os pontos do domínio de f onde ambas as derivadas parciais são zero (∇f = 0) ou onde as derivadas parciais não existem.
Primeiro, vamos analisar o domínio da função. A função f(x,y) = (x² - y²)/(x² + y²) não está definida quando x² + y² = 0, ou seja, quando (x,y) = (0,0). Portanto, (0,0) não pertence ao domínio da função e não pode ser um ponto crítico.
Agora, vamos calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos onde ∇f = 0:
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos o sistema:
A primeira equação é zero quando x = 0 ou y = 0 (desde que (x,y) ≠ (0,0)).
A segunda equação é zero quando x = 0 ou y = 0 (desde que (x,y) ≠ (0,0)).
Então, temos as possibilidades:
Portanto, os pontos críticos são os pontos no eixo x (exceto a origem) e os pontos no eixo y (exceto a origem).
Para classificar esses pontos, precisamos calcular a matriz Hessiana e avaliar o sinal do determinante. No entanto, a resposta correta é que a origem (0,0) não é um ponto crítico porque a função não está definida neste ponto.
De fato, se tentarmos calcular f(0,0):
Que é uma forma indeterminada, confirmando que a função não está definida na origem.
Para a função f(x,y) = xy/(x² + y² + 1), qual é o valor das derivadas parciais mistas fxy e fyx no ponto (0,0)?
Por que a resposta é b) fxy(0,0) = 1 e fyx(0,0) = 1?
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Agora, calculamos as derivadas parciais mistas:
Para fxy, derivamos fx em relação a y:
Esta expressão é bastante complicada devido à regra do quociente. No entanto, para o ponto (0,0), podemos simplificar:
Em (0,0), muitos termos se anulam, e podemos simplificar:
Quando y → 0, temos:
Para calcular fxy(0,0), precisamos ser mais cuidadosos. Vamos simplificar ainda mais:
Para calcular fx, derivamos em relação a x:
Em (0,0):
Para fxy, derivamos fx em relação a y:
Em vez de calcular toda a expressão complexa, vamos usar outra abordagem para o ponto (0,0).
Considerando que a função é bem comportada em torno de (0,0), podemos usar uma aproximação polinomial (série de Taylor):
Para nossa função f(x,y) = xy/(x² + y² + 1), vamos calcular os primeiros termos:
Calculando fx(0,0):
Similarmente, fy(0,0) = 0.
Para os termos de segunda ordem, podemos mostrar que fxx(0,0) = 0 e fyy(0,0) = 0.
Para fxy(0,0), vamos usar uma abordagem mais direta. Considerando a função original:
Quando x e y são pequenos, podemos aproximar:
Portanto, próximo da origem, f(x,y) ≈ xy, e claramente fxy = 1 e fyx = 1.
De acordo com o Teorema de Schwarz, se as derivadas parciais mistas são contínuas (o que é o caso para nossa função no ponto (0,0)), então fxy = fyx. Como ambas são iguais a 1, a resposta correta é:
Seja z = f(x,y) = x/(x² + y²). Qual é a equação do plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto (1,1,1/2)?
Por que a resposta é c) z = 1 - y/2?
Para encontrar a equação do plano tangente à superfície z = f(x,y) no ponto (1,1,1/2), precisamos calcular as derivadas parciais da função no ponto e usar a fórmula:
Primeiro, confirmamos o valor de f(1,1):
Agora, calculamos as derivadas parciais:
No ponto (1,1):
Calculando fy:
No ponto (1,1):
Agora, substituindo na equação do plano tangente:
Portanto, a equação do plano tangente é z = 1 - y/2.
Considerando a função f(x,y) = (x² + y)/(y² + 1), para quais valores de y a função f(1,y) atinge seu valor máximo?
Por que a resposta é a) y = -1 + √2?
Para encontrar o valor de y que maximiza f(1,y), primeiro fixamos x = 1 e consideramos a função de uma variável:
Para encontrar os pontos críticos, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Como estamos procurando pontos críticos, igualamos o numerador a zero (o denominador nunca é zero):
Reorganizando para a forma padrão:
Usando a fórmula quadrática com a = 1, b = 2, c = -1:
Isso nos dá y = -1 + √2 ≈ 0.414 ou y = -1 - √2 ≈ -2.414
Para determinar qual desses valores fornece o máximo, calculamos a segunda derivada ou verificamos o comportamento da função em torno desses pontos.
Verificamos que g''(-1 + √2) < 0, indicando que este é um máximo local. Além disso, g(-1 - √2) < g(-1 + √2), confirmando que y=-1 + √2 é onde a função atinge seu valor máximo.
Portanto, o valor de y que maximiza f(1,y) é y = -1 + √2.
Seja w = f(r,s) onde r = x²+y² e s = x-y. Se f(r,s) = r/s, então o valor de ∂w/∂x em termos de r e s é:
Por que a resposta é a) 2x/s - r/s²?
Para resolver este problema, precisamos usar a regra da cadeia para funções compostas de várias variáveis. Temos:
Pela regra da cadeia, a derivada parcial de w em relação a x é:
Calculemos cada uma dessas derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da regra da cadeia:
Portanto, a derivada parcial ∂w/∂x em termos de r e s é 2x/s - r/s².
Para a função f(x,y) = (x² - y²)/(x + y), ao longo de qual direção a taxa de variação é máxima no ponto (1,1)?
Por que a resposta é e) (1, -1)/√2?
A taxa de variação máxima de uma função em um ponto ocorre na direção do vetor gradiente naquele ponto. Portanto, precisamos calcular o gradiente da função f(x,y) = (x² - y²)/(x + y) no ponto (1,1) e normalizar o resultado para obter a direção.
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Simplificando, percebemos que o numerador é justamente o quadrado do denominador:
Agora, calculamos fy:
Reorganizando os termos:
Então, no ponto (1,1), temos o gradiente:
Para obter a direção unitária, normalizamos este vetor dividindo pelo seu comprimento:
Portanto, a direção na qual a taxa de variação é máxima no ponto (1,1) é (1, -1)/√2. Isso significa que a função aumenta mais rapidamente quando nos movemos simultaneamente na direção positiva de x e na direção negativa de y, com a mesma intensidade.