Avaliação de Cálculo - Engenharia de Produção

Avaliação de Cálculo - Engenharia de Produção

Cálculo Diferencial e Integral Aplicado

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Instruções:

Leia atentamente cada questão. A prova está dividida em duas partes: a primeira com questões de múltipla escolha e a segunda com questões de esboço de gráficos de funções racionais, totalizando 20 pontos.

Parte 1 (Questões 1-5): Nas questões de múltipla escolha, selecione a alternativa desejada e clique no botão "Enviar Respostas" no final para visualizar sua pontuação. Cada questão vale 2 pontos, totalizando 10 pontos nesta parte.

Parte 2 (Questões 6-10): Nas questões de esboço de gráfico, desenhe a superfície no sistema de eixos fornecido, considerando as características principais de cada função racional. Utilize o espaço após imprimir a página. Cada gráfico vale 2 pontos, totalizando 10 pontos nesta parte.

A prova deve ser realizada individualmente e sem consulta a materiais externos. Use caneta azul ou preta para marcar suas respostas e realizar os esboços. Boa prova!

Parte 1: Questões de Múltipla Escolha (Valor: 10 pontos - 2 pontos cada)

Selecione uma alternativa para cada questão.

Questão 1
2,0 pontos

Engenharia de Produção - Eficiência de Processo

A eficiência E de uma linha de montagem pode ser modelada pela função E(l, w) = lw/(l + w + 5), onde l representa o número de lotes processados e w o número de trabalhadores alocados (ambos positivos). Um engenheiro de produção precisa analisar como a eficiência E varia marginalmente com o número de lotes l, mantendo o número de trabalhadores w constante. Para isso, ele calcula a derivada parcial ∂E/∂l. Qual é a expressão correta para ∂E/∂l?

Questão 2
2,0 pontos

Engenharia de Produção - Análise de Custos

O custo T (em Reais por unidade) para operar duas máquinas (cujas taxas de operação são x e y) é dado por T(x, y) = 500/(x² + y² + 10). O engenheiro de produção quer saber a direção e a magnitude da máxima taxa de variação do custo a partir do ponto de operação (1, 2). Isso é dado pelo vetor gradiente ∇T(1, 2). Qual é o vetor ∇T(1, 2)? (Lembre-se: ∇T = (∂T/∂x)i + (∂T/∂y)j)

Questão 3
2,0 pontos

Engenharia de Produção - Otimização de Layout

Ao analisar o fluxo de materiais em um armazém, a função z = f(x, y) = (x - y)/(x + y) representa um índice de congestionamento baseado nas coordenadas (x, y) de dois pontos de operação. Para evitar pontos críticos onde o fluxo é indefinido, é crucial identificar onde a função não está definida. Qual é o domínio da função f(x, y)?

Questão 4
2,0 pontos

Engenharia de Produção - Nível de Serviço

O índice de nível de serviço P de um centro de distribuição depende de duas variáveis: v (velocidade média de processamento de pedidos) e c (capacidade de estoque), sendo modelado por P(v, c) = 10v/(c² + 1), com v > 0, c > 0. O gerente quer visualizar as combinações de v e c que resultam em um nível de serviço constante, por exemplo, P(v, c) = 5. Essas combinações formam uma curva de nível. Qual tipo de curva é representado pela equação 10v/(c² + 1) = 5?

Questão 5
2,0 pontos

Engenharia de Produção - Aproximação Linear

A função z = f(x, y) = 10x/(y² + 1) modela a taxa de produção (unidades/hora) de uma célula de manufatura, onde x é a velocidade da esteira (m/min) e y é a configuração de uma ferramenta (adimensional). Para entender o comportamento da produção perto do ponto operacional (x₀, y₀) = (2, 1), um engenheiro calcula a equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) nesse ponto. Qual é a equação desse plano tangente?

Sua Pontuação Final (Parte 1)
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Parte 2: Esboço de Gráficos (Valor: 10 pontos - 2 pontos cada)

Para cada função abaixo, esboce o gráfico da superfície correspondente no sistema de eixos fornecido.

Questão 6
2,0 pontos

Modelagem de Capacidade Produtiva

Em um sistema produtivo, a função f(x, y) = 4/x, para x > 0, representa a capacidade produtiva de uma linha de manufatura, onde x é o tempo de processamento (em horas) e y é a variável de configuração do equipamento.

Esboce o gráfico de: f(x, y) = 4/x, para x > 0

Z Y X O

Espaço para esboçar o gráfico da função f(x,y) = 4/x

Dicas para o esboço:

  • Observe que f não depende da variável y, o que significa que para cada valor fixo de x, o valor da função é constante para qualquer valor de y, gerando "fatias" verticais paralelas ao eixo y.
  • Analise o comportamento quando x se aproxima de 0 pela direita (x → 0⁺): a função tende a infinito positivo, criando uma assíntota vertical.
  • Identifique como a função se comporta quando x aumenta significativamente: à medida que x cresce, f(x,y) diminui e se aproxima de zero, mas nunca atinge este valor.
  • A superfície forma um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo y, onde cada seção transversal paralela ao plano xz é uma hipérbole dada por z = 4/x.
Questão 7
2,0 pontos

Análise de Tempo de Espera em Filas

A função f(x, y) = -5/y, para y > 0, modela o tempo médio de espera em uma fila de centro de distribuição, onde y representa a quantidade de atendentes e x o fluxo de pedidos por hora.

Esboce o gráfico de: f(x, y) = -5/y, para y > 0

Z Y X O

Espaço para esboçar o gráfico da função f(x,y) = -5/y

Dicas para o esboço:

  • Note que f é independente da variável x, o que significa que para cada valor fixo de y, o valor da função permanece constante para qualquer valor de x, criando "fatias" verticais paralelas ao eixo x.
  • Analise o comportamento quando y se aproxima de 0 pela direita (y → 0⁺): a função tende a menos infinito, criando uma assíntota vertical na parte negativa do eixo z.
  • Observe o sinal negativo e seu efeito no gráfico: todas as imagens da função são negativas, indicando que a superfície está inteiramente abaixo do plano xy.
  • A superfície forma um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo x, onde cada seção transversal paralela ao plano yz é uma hipérbole dada por z = -5/y.
Questão 8
2,0 pontos

Relação Custo-Qualidade

A função f(x, y) = 1/x², para x ≠ 0, representa a relação entre investimento em qualidade e índice de defeitos em uma linha de produção, onde x é o investimento normalizado e y é o tipo de produto.

Esboce o gráfico de: f(x, y) = 1/x², para x ≠ 0

Z Y X O

Espaço para esboçar o gráfico da função f(x,y) = 1/x²

Dicas para o esboço:

  • A função não depende da variável y, o que significa que para qualquer valor fixo de x, o valor da função é constante ao longo de retas paralelas ao eixo y.
  • Analise o comportamento quando x se aproxima de 0, tanto por valores positivos quanto negativos (x → 0⁺ ou x → 0⁻): em ambos os casos, a função tende a infinito positivo, criando uma assíntota vertical bilateral.
  • Note que a função é sempre positiva para qualquer valor de x ≠ 0, pois o quadrado de qualquer número real não nulo é sempre positivo.
  • Observe a simetria em relação ao eixo z: f(-x,y) = f(x,y), pois (-x)² = x². Isso significa que a superfície é simétrica em relação ao plano yz.
Questão 9
2,0 pontos

Nível de Ruído Constante

A função f(x, y) = 10 representa o nível de ruído constante (em decibéis normalizados) em um ambiente de fabricação, independentemente da posição (x,y) na planta.

Esboce o gráfico de: f(x, y) = 10

Z Y X O

Espaço para esboçar o gráfico da função f(x,y) = 10

Dicas para o esboço:

  • Esta é uma função constante, o que significa que f(x,y) = 10 para todos os pontos (x,y) do domínio, independentemente dos valores de x e y.
  • O gráfico é um plano horizontal paralelo ao plano xy, situado a uma altura constante de 10 unidades acima da origem.
  • A altura do plano é 10 unidades acima do plano xy, interceptando o eixo z no ponto (0,0,10).
  • Não existem variações em nenhuma direção, resultando em um plano perfeitamente plano com equação z = 10.
Questão 10
2,0 pontos

Eficiência Energética

A função f(x, y) = 2/y, para y > 0, representa a eficiência energética de um equipamento industrial, onde y é a carga de trabalho e x é a temperatura de operação.

Esboce o gráfico de: f(x, y) = 2/y, para y > 0

Z Y X O

Espaço para esboçar o gráfico da função f(x,y) = 2/y

Dicas para o esboço:

  • A função não varia com a variável x, o que significa que para cada valor fixo de y, o valor da função é constante em qualquer ponto ao longo de retas paralelas ao eixo x.
  • Analise o comportamento quando y se aproxima de 0 pela direita (y → 0⁺): a função tende a infinito positivo, criando uma assíntota vertical.
  • Observe como a função decresce quando y aumenta: à medida que y cresce, f(x,y) diminui gradualmente, aproximando-se de zero para valores grandes de y, mas nunca atingindo este valor.
  • A superfície forma um cilindro com geratrizes paralelas ao eixo x, onde cada seção transversal paralela ao plano yz é uma hipérbole dada por z = 2/y.

Fim da Avaliação